쎈수학 미적분Ⅰ · 04 접선의 방정식
0398
난이도 중
유형 01 접선의 기울기
난이도 중
유형 01 접선의 기울기
문제를 읽자마자
출제의도
“접선이 서로 평행하다”를 f′(−2)=f′(2) 한 줄로 바꾸는 문제
평행이라는 도형 언어를 기울기가 같다는 식으로 옮기면 곧바로 f′(−2)=f′(2)가 됩니다. 여기에 두 점이 곡선 위에 있다는 조건 두 개를 더하면 식이 정확히 세 개, 미지수도 a, b, c 세 개로 맞아떨어집니다. 앞 문제 0397과 구조는 똑같고, 기울기의 값을 준 대신 기울기끼리 같다고만 준 것이 차이입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 평행을 식으로
두 접선의 기울기 값은 문제에 나오지 않습니다. 하지만 평행하다 = 기울기가 같다이므로 값을 몰라도 식은 세울 수 있습니다.
f′(x)=9x²+2ax+b를 써 놓고, 평행 조건을 f′을 이용한 등식 하나로 옮겨 적어 보세요.
f′(x)=9x²+2ax+b를 써 놓고, 평행 조건을 f′을 이용한 등식 하나로 옮겨 적어 보세요.
힌트 2 — 남는 문자는 하나뿐
f′(−2)=f′(2)를 그대로 전개하면 36−4a+b = 36+4a+b. 양변에서 36과 b가 통째로 사라집니다.
남는 것은 −4a=4a 뿐이니 a의 값이 즉시 정해집니다. (f′이 이차함수이고 그 축이 x=0이라는 뜻이기도 합니다.)
남는 것은 −4a=4a 뿐이니 a의 값이 즉시 정해집니다. (f′이 이차함수이고 그 축이 x=0이라는 뜻이기도 합니다.)
힌트 3 — 나머지 두 문자
두 점이 곡선 위에 있으므로 f(−2)=−5, f(2)=7. 정리하면 4a−2b+c=19와 4a+2b+c=−17입니다.
이 두 식을 빼면 a와 c가 동시에 사라져 4b=−36이 됩니다. b를 구한 뒤 c를 구하고, 마지막에 a−bc를 계산하세요. b가 음수라는 점에 주의하고요.
이 두 식을 빼면 a와 c가 동시에 사라져 4b=−36이 됩니다. b를 구한 뒤 c를 구하고, 마지막에 a−bc를 계산하세요. b가 음수라는 점에 주의하고요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ⑤ a−bc = 9 (a=0, b=−9, c=1)
더 빠른 길 — 대칭축으로 a를 즉시 잡기
f′(x)=9x²+2ax+b는 아래로 볼록한 이차함수입니다. f′(−2)=f′(2)라는 것은 x=−2와 x=2가 축에 대해 대칭이라는 뜻이므로 축은 x=0.
축의 방정식 x = −2a/(2·9) = −a/9 = 0에서 a=0이 전개 없이 나옵니다.
한 걸음 더 나가면, a=0이면 f(x)=3x³+bx+c에서 3x³+bx가 기함수이므로 f(−2)+f(2)=2c. 즉 −5+7=2c에서 c=1도 즉시 확정됩니다. 남은 b는 f(2)=7에 넣어 24+2b+1=7, b=−9.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
평행을 “두 접선이 일치한다”로 읽는다
평행은 기울기만 같다는 뜻입니다. y절편까지 같다고 두면 조건이 하나 더 늘어나 해가 없어집니다. -
f(−2) 계산에서 3·(−2)³을 −6이나 +24로 쓴다
3·(−8)=−24입니다. 여기서 어긋나면 ㉠이 통째로 틀려 c만 잘못 나오고, a−bc가 조용히 빗나갑니다. -
평행 조건을 f′(−2)=f′(2)가 아니라 f(−2)=f(2)로 쓴다
평행한 것은 접선이지 함숫값이 아닙니다. 실제로 f(−2)=−5, f(2)=7로 서로 다르죠. 조건을 잘못 옮기면 −5=7이라는 모순에 부딪히게 됩니다. -
b=−9의 음수 부호를 흘린다
−bc = −(−9)(1) = +9입니다. 부호를 한 번 놓치면 −9가 나와 ①~⑤ 어디에도 없는 값이 됩니다. 선택지에 없다면 대개 이 자리입니다. -
a=0을 “a가 없다”로 착각해 답에서 빼먹는다
a=0도 엄연한 값입니다. a−bc의 a 자리에 0을 적어 넣고 계산하세요.