쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
0352
난이도 상
미분계수의 정의
서술형
난이도 상
미분계수의 정의
서술형
문제를 읽자마자
출제의도
분자의 40은 상수가 아니라 4가 10개라는 것을 알아채라는 문제
f(x)가 어떤 다항식인지는 끝까지 나오지 않습니다. 알 수 있는 것은 f(1)과 f′(1) 두 개뿐이고, 문제는 그 두 개만으로 답이 나오도록 설계되어 있습니다. 40을 Σ 안으로 밀어 넣어 f(1+kh)−f(1) 꼴을 만드는 것이 이 문제의 전부입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 첫 식에서 건질 것은 두 개
x→1일 때 분모 x−1→0인데 극한값 a가 존재합니다. 그러면 분자도 0으로 가야 합니다.
여기서 f(1)의 값이 먼저 나오고, 그것을 다시 넣으면 첫 식 자체가 f′(1)의 정의가 됩니다. 두 정보를 반드시 따로 적어 두세요.
여기서 f(1)의 값이 먼저 나오고, 그것을 다시 넣으면 첫 식 자체가 f′(1)의 정의가 됩니다. 두 정보를 반드시 따로 적어 두세요.
힌트 2 — 40을 쪼개기
f(1)=−4를 얻었다면 4=−f(1)입니다. 그리고 40=4×10, k가 1부터 10까지 도니까
40 + Σf(1+kh) = Σ{f(1+kh) + 4} = Σ{f(1+kh) − f(1)}
이제 각 항이 미분계수 정의의 분자 모양이 되었습니다.
40 + Σf(1+kh) = Σ{f(1+kh) + 4} = Σ{f(1+kh) − f(1)}
이제 각 항이 미분계수 정의의 분자 모양이 되었습니다.
힌트 3 — 분모는 h가 아니라 kh
{f(1+kh)−f(1)}/h를 그대로 두면 정의 꼴이 아닙니다. 증가량이 kh이므로 분모도 kh여야 합니다.
따라서 {f(1+kh)−f(1)}/(kh) × k로 고쳐 쓰면 각 항이 k·f′(1)로 갑니다.
남은 것은 Σ(k=1부터 10까지) k의 값. 이것이 55라는 것을 확인하고 55a=110을 푸세요.
따라서 {f(1+kh)−f(1)}/(kh) × k로 고쳐 쓰면 각 항이 k·f′(1)로 갑니다.
남은 것은 Σ(k=1부터 10까지) k의 값. 이것이 55라는 것을 확인하고 55a=110을 푸세요.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 a = 2
서술형 채점 포인트 — 배점이 걸린 네 줄
① f(1)=−4임을 밝힌다 (20%) — “분모→0이고 극한값이 존재하므로 분자→0″이라는 근거 문장이 반드시 있어야 합니다.
② f′(1)=a임을 밝힌다 (20%) — f(x)+4를 f(x)−f(1)로 바꿔 쓴 줄이 근거입니다.
③ 주어진 극한을 a에 대한 식 55a로 나타낸다 (50%) — 배점의 절반. 40을 Σ 안으로 넣는 과정과 kh로 맞추는 과정을 생략하지 마세요.
④ 55a=110에서 a=2 (10%).
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
분모를 h로 둔 채 계산한다
k·h가 증가량이므로 분모도 kh여야 정의 꼴입니다. h로 두면 각 항이 f′(1)이 되어 합이 10a, 10a=110에서 a=11이라는 오답이 나옵니다. 답이 11로 나왔다면 원인은 여기입니다. -
40을 상수로 두고 손대지 않는다
40을 그냥 두면 h→0에서 분자가 40−40이 아니라 40+(−40)임을 못 보고 진행이 막힙니다. 40=4×10, 4=−f(1)로 쪼개 Σ 안으로 넣으세요. -
f(1)의 부호를 반대로 쓴다
f(1)+4=0에서 f(1)=−4입니다. +4로 잡으면 Σ가 f(1+kh)−f(1) 꼴로 정리되지 않습니다. -
Σ(k=1~10) k 를 잘못 센다
10·11/2=55입니다. 10이나 100으로 쓰면 마지막 한 줄에서 통째로 틀립니다. 계산 후 55a=110을 다시 눈으로 확인하세요. -
f(x)를 구하려고 시도한다
주어진 조건으로는 다항함수 f(x)가 하나로 정해지지 않습니다. f(1)과 f′(1)만으로 답이 나오도록 만든 문제입니다. -
근거 문장 없이 결과만 적는다
서술형입니다. “분모→0, 극한값 존재 ⟹ 분자→0” 이 한 줄이 빠지면 f(1)=−4가 맞아도 20%가 날아갑니다.
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