쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
0349
난이도 중
다항식의 나눗셈에서 미분법의 활용
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문제를 읽자마자
출제의도
나머지를 구하는 문제가 아니라, 나머지를 주고 계수를 되찾는 문제
0348번과 도구는 똑같습니다. 항등식을 쓰고, x=−1을 대입하고, 양변을 미분해서 한 번 더 대입합니다. 달라진 것은 우변의 나머지 자리가 ax+b가 아니라 이미 2x+3으로 채워져 있다는 점뿐입니다. 미지수 a, b는 이제 좌변에 있습니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 항등식부터 쓰기
몫을 Q(x)라 하고 x⁴+ax²+b=(x+1)²Q(x)+2x+3을 적으세요. 나머지가 이미 주어졌으니 새로 문자를 만들 필요가 없습니다. 미지수는 a, b 둘이고, 필요한 식도 두 줄입니다.
힌트 2 — 첫 번째 줄
(x+1)²을 0으로 만드는 값은 x=−1입니다. 양변에 넣으면 좌변은 1+a+b, 우변은 −2+3=1.
여기서 우변의 2x+3에도 x=−1을 넣어야 합니다. 이 자리를 0으로 두는 실수가 가장 많습니다. 정리하면 a+b=0.
여기서 우변의 2x+3에도 x=−1을 넣어야 합니다. 이 자리를 0으로 두는 실수가 가장 많습니다. 정리하면 a+b=0.
힌트 3 — 두 번째 줄
양변을 x에 대해 미분하면 좌변은 4x³+2ax, 우변은 2(x+1)Q(x)+(x+1)²Q′(x)+2입니다. 상수 3은 사라지고 2x의 미분 2만 남습니다.
x=−1을 넣으면 −4−2a=2. 부호를 천천히 확인하세요. a를 구한 뒤 a+b=0으로 b를 얻고, 마지막에 ab를 계산합니다.
x=−1을 넣으면 −4−2a=2. 부호를 천천히 확인하세요. a를 구한 뒤 a+b=0으로 b를 얻고, 마지막에 ab를 계산합니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ② a = −3, b = 3, ab = −9
풀이영상
같은 이야기를 다르게 — 중근으로 보기
g(x)=x⁴+ax²+b−(2x+3)으로 두면 g(x)가 (x+1)²으로 나누어떨어진다는 뜻이고, 이는 곧 x=−1이 g(x)=0의 중근이라는 말입니다.
따라서 g(−1)=0, g′(−1)=0 두 조건이 바로 나오고, 이것이 위에서 세운 두 식과 정확히 같습니다. “나머지가 주어졌다 = 차를 만들면 나누어떨어진다”로 바꿔 읽는 습관이 유용합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
x=−1을 대입할 때 우변의 2x+3을 빠뜨린다
사라지는 것은 (x+1)²Q(x)뿐입니다. 나머지 자리에도 반드시 대입해서 우변을 1로 만들어야 a+b=0이 나옵니다. -
(−1)⁴, a(−1)²의 부호를 헷갈린다
짝수 제곱은 모두 양수입니다. 1+a+b이지 1−a+b가 아닙니다. 지수가 짝수인지 홀수인지 눈으로 한 번 짚고 대입하세요. -
미분 후 대입에서 부호가 꼬인다
4(−1)³+2a(−1)=−4−2a입니다. 이것을 2와 같다고 놓아야 a=−3. 음수 대입은 괄호를 치고 한 항씩 옮겨 적는 편이 안전합니다. -
나머지 2x+3을 미분하면서 3을 끌고 간다
상수항은 미분하면 0입니다. 우변에 남는 것은 2뿐입니다. -
a, b를 구하고 ab를 계산하지 않는다
a=−3, b=3까지 나왔다면 곱해서 −9. a+b=0을 그대로 답으로 고르는 실수가 자주 나옵니다.
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