쎈수학 미적분Ⅰ · 03 다항함수의 미분법 · 유형 19
0339
대표문제
항등식에서 미분법의 활용
풀이영상 있음
대표문제
항등식에서 미분법의 활용
풀이영상 있음
문제 보기 전에
풀이영상 먼저 보기
문제를 읽자마자
출제의도
f(x)를 미정계수로 세워 대입하고, 계수비교로 끝내는 문제
f(x)가 무엇인지는 알려 주지 않았지만 “이차함수”라는 한 마디로 모양은 이미 정해졌습니다. f(x)=ax²+bx+c로 놓고 f′(x)까지 만들어 주어진 식에 넣으면, 남는 것은 x에 대한 항등식 하나뿐입니다. 항등식은 모든 계수가 0이라는 뜻이므로 미지수가 저절로 풀립니다. 유형 19의 표준 절차를 그대로 밟는 대표문제입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 미지수를 몇 개로 둘 것인가
이차함수이므로 f(x)=ax²+bx+c (a≠0)입니다. 그런데 f(0)=3이 주어져 있습니다.
f(0)은 상수항 그 자체이므로 c=3. 처음부터 미지수는 a, b 두 개면 충분합니다.
f(0)은 상수항 그 자체이므로 c=3. 처음부터 미지수는 a, b 두 개면 충분합니다.
힌트 2 — 대입하고 x에 대해 정리
f′(x)=2ax+b를 만들어 (x+1)f′(x)−2f(x)+2에 넣고 전개하세요.
이때 x² 항이 서로 지워지는지 꼭 확인하세요. 2ax²−2ax²=0이 되면서 식이 일차식으로 내려옵니다.
이때 x² 항이 서로 지워지는지 꼭 확인하세요. 2ax²−2ax²=0이 되면서 식이 일차식으로 내려옵니다.
힌트 3 — 항등식의 뜻
정리하면 (2a−b)x + (b−4) = 0 꼴이 됩니다.
이 등식이 “모든 실수 x에 대하여” 성립하므로 x의 계수와 상수항이 각각 0입니다. a, b를 구한 뒤, 문제가 물은 것이 f(1)이 아니라 f′(1)이라는 점을 확인하세요.
이 등식이 “모든 실수 x에 대하여” 성립하므로 x의 계수와 상수항이 각각 0입니다. a, b를 구한 뒤, 문제가 물은 것이 f(1)이 아니라 f′(1)이라는 점을 확인하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ③ f′(1) = 8
풀이영상
또 다른 길 — 값을 대입해서 b부터 잡기
주어진 식은 모든 실수 x에서 성립하므로 편한 값을 넣어도 됩니다.
x=0을 넣으면 f′(0)−2f(0)+2=0에서 f′(0)=4이므로 b=4.
x=−1을 넣으면 −2f(−1)+2=0에서 f(−1)=1이고, a−4+3=1에서 a=2.
f′(x)=4x+4이므로 f′(1)=8. 전개 없이 두 번의 대입으로 끝납니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(0)=3을 쓰지 않고 미지수를 세 개로 끌고 간다
f(0)은 상수항입니다. c=3을 먼저 확정하면 남은 미지수가 둘로 줄어 계산이 절반이 됩니다. -
−2f(x)의 −2를 상수항까지 분배하지 않는다
−2(ax²+bx+3)에서 −6이 나오고, 뒤의 +2와 합쳐져 상수항이 b−4가 됩니다. 이 −6을 빠뜨리면 b=−2 같은 엉뚱한 값이 나옵니다. -
x² 항이 지워지는 것을 확인하지 않는다
(x+1)(2ax+b)의 2ax²와 −2ax²는 반드시 상쇄됩니다. 남아 있다면 전개 어딘가가 틀린 것이니, 계수비교로 넘어가기 전에 점검하세요. -
“모든 실수 x에 대하여”를 그냥 지나친다
이 문구가 있어야 계수비교가 정당해집니다. 서술형에서는 “위의 등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로”라는 근거 문장을 반드시 적어야 합니다. -
a, b를 구한 뒤 f(1)을 답으로 낸다
구하는 값은 f′(1)입니다. f′(x)=4x+4를 먼저 쓰고 x=1을 넣어 8. f(1)=2+4+3=9와 헷갈리지 마세요.
다른 문항도 풀어보기 — 전체 목록 바로가기 ›
문제번호로 바로 찾아가는 메인포스트