쎈수학 미적분Ⅰ · 03 다항함수의 미분법
0338
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출제의도
극한 조건 하나에서 조건 두 개를 뽑아내고, f′(x)의 꼭짓점으로 나머지를 잡는 문제
미지수는 a, b, c 세 개인데 겉보기 조건은 (가), (나) 두 개뿐입니다. 부족해 보이지만 (가) 하나가 f(1)=0과 f′(1)=3 두 줄을 만들어 냅니다. “분모→0인데 극한값이 존재한다”는 상황을 조건으로 읽어내는 것이 이 문제의 첫 관문이고, (나)는 f′(x)가 위로 볼록한 이차함수라는 점을 이용하라는 뜻입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 조건 (가)를 두 번 읽기
x→1일 때 분모 x−1은 0으로 갑니다. 그런데 극한값이 3으로 존재한다고 했습니다.
분모가 0으로 가는데 극한값이 존재하려면 분자도 0으로 가야 합니다. 여기서 나오는 한 줄은 무엇인가요?
분모가 0으로 가는데 극한값이 존재하려면 분자도 0으로 가야 합니다. 여기서 나오는 한 줄은 무엇인가요?
힌트 2 — f(1)=0을 얻은 다음
f(1)=0이므로 분자의 f(x)를 f(x)−f(1)로 바꿔 쓸 수 있습니다.
그러면 주어진 식은 미분계수의 정의 그 자체가 되어 f′(1)=3이 됩니다. 이제 조건이 두 개 생겼습니다.
그러면 주어진 식은 미분계수의 정의 그 자체가 되어 f′(1)=3이 됩니다. 이제 조건이 두 개 생겼습니다.
힌트 3 — 조건 (나)의 번역
“접선의 기울기”는 곧 f′(x)입니다. f′(x)=−3x²+2ax+b는 x² 계수가 음수인 이차함수이므로 꼭짓점에서 최댓값을 가집니다.
그 꼭짓점의 x좌표가 x=a/3이고, 문제는 이것이 3이라고 말하고 있습니다.
그 꼭짓점의 x좌표가 x=a/3이고, 문제는 이것이 3이라고 말하고 있습니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 22
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더 빠른 길 — f′(x)를 꼭짓점 꼴로 먼저 세우기
f′(x)는 x² 계수가 −3이고 x=3에서 최대이므로 처음부터 f′(x)=−3(x−3)²+M으로 둡니다.
f′(1)=3에서 −12+M=3이므로 M=15. 전개하면 f′(x)=−3x²+18x−12이니 a=9, b=−12가 한 번에 나옵니다.
여기에 f(1)=0을 대입해 −1+9−12+c=0에서 c=4. 연립방정식을 풀 필요가 없습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
분자→0을 확인하지 않고 그냥 대입한다
0/0 꼴 극한에서 “분모→0, 극한 존재 ⟹ 분자→0″은 조건을 만들어 내는 장치입니다. 서술형이라면 이 한 줄이 빠질 때 감점됩니다. -
f(1)=0까지만 쓰고 f′(1)로 넘어가지 못한다
분모가 x−1이면 미분계수의 정의를 떠올리세요. f(x)/(x−1) = {f(x)−f(1)}/(x−1) → f′(1). 조건이 하나 더 생깁니다. -
“접선의 기울기가 최대”를 f(x)의 최대로 착각한다
최대가 되는 대상은 f(x)가 아니라 f′(x)입니다. f′(x)의 꼭짓점을 찾는 문제이지, f(x)의 극값을 찾는 문제가 아닙니다. -
꼭짓점의 x좌표를 부호 실수로 잘못 잡는다
f′(x)=−3x²+2ax+b의 축은 x = −2a/(2·(−3)) = a/3입니다. 앞의 −3 때문에 부호가 자주 뒤집힙니다. 완전제곱으로 정리해 확인하세요. -
a, b, c만 구하고 멈춘다
구해야 하는 값은 f(3)입니다. f(x)=−x³+9x²−12x+4에 x=3을 넣어 −27+81−36+4=22까지 계산해야 끝입니다.
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