쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
0332
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미분계수의 정의
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문제를 읽자마자
출제의도
인수분해하지 말고, 미분계수의 정의를 거꾸로 읽으라는 문제
분모가 x−1이고 분자 끝에 −1이 붙어 있습니다. 이 배치는 우연이 아닙니다. f(x)=x¹⁰−x⁹+x⁸−x⁷+x⁶으로 두면 f(1)=1이라서 분자가 정확히 f(x)−f(1) 꼴이 됩니다. 즉 주어진 극한은 처음부터 f′(1)을 물은 것이고, 10차식을 x−1로 나누는 계산은 출제자가 원한 길이 아닙니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 방향부터 잡기
조립제법을 시작했다면 멈추세요. 10차식을 나누는 문제가 시험에 나올 리 없습니다.
분모가 x−1이고 분자에 상수 −1이 있다는 두 사실을 붙여서 읽으면 어떤 정의가 떠오르나요?
분모가 x−1이고 분자에 상수 −1이 있다는 두 사실을 붙여서 읽으면 어떤 정의가 떠오르나요?
힌트 2 — 함수로 묶기
f(x)=x¹⁰−x⁹+x⁸−x⁷+x⁶으로 놓아 보세요. 그리고 f(1)을 직접 계산하세요.
1−1+1−1+1의 값이 분자의 −1과 짝이 맞나요? 맞다면 이 식은 limx→1 {f(x)−f(1)} / (x−1)입니다.
1−1+1−1+1의 값이 분자의 −1과 짝이 맞나요? 맞다면 이 식은 limx→1 {f(x)−f(1)} / (x−1)입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
그 극한은 f′(1)입니다. f′(x)=10x⁹−9x⁸+8x⁷−7x⁶+6x⁵을 구하고 x=1을 넣으세요.
x=1이면 거듭제곱은 전부 1이므로, 남는 것은 계수와 지수를 곱한 값들의 부호 교대 합뿐입니다.
x=1이면 거듭제곱은 전부 1이므로, 남는 것은 계수와 지수를 곱한 값들의 부호 교대 합뿐입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ⑤ 8
풀이영상
더 빠른 길 — 손으로 도함수를 쓰지 않기
f′(1)은 각 항의 (계수)×(지수)를 그대로 더한 값입니다. x¹⁰→10, −x⁹→−9, x⁸→8, −x⁷→−7, x⁶→6.
10−9+8−7+6=8. 도함수 식을 옮겨 적지 않고 문제지 위에서 바로 셀 수 있습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
분자를 x−1로 나누기 시작한다
10차식 조립제법은 시간도 오래 걸리고 부호 실수가 반드시 납니다. 분모가 (x−a) 꼴이면 나누기 전에 “미분계수 정의인가?”를 먼저 확인하는 습관을 들이세요. -
f(1)=1을 확인하지 않고 넘어간다
분자의 −1이 −f(1)과 일치할 때에만 f(x)−f(1) 꼴이 됩니다. 이 한 줄을 건너뛰면 정의를 쓸 근거가 없어집니다. -
부호가 교대하는 항에서 실수한다
−x⁹의 도함수는 −9x⁸입니다. 미분하면서 앞의 마이너스를 흘리면 10−9+8−7+6이 아니라 엉뚱한 값이 나옵니다. -
지수를 앞으로 내리는 것을 빠뜨린다
x⁶의 도함수는 x⁵이 아니라 6x⁵입니다. 6이 빠지면 답이 2 줄어듭니다. -
f(1)과 f′(1)을 헷갈려 1이라고 답한다
구해야 하는 것은 변화율이지 함숫값이 아닙니다. f(1)=1은 정의를 쓰기 위한 근거일 뿐, 답이 아닙니다.