쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수 · 유형 17 치환을 이용한 극한값의 계산
0331
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미분계수의 정의
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문제를 읽자마자
출제의도
10차식을 나누지 말고, 미분계수의 정의로 읽으라는 문제
x=−1을 넣으면 분자 1−3+2=0. 0/0이니 조립제법으로 x+1을 나눌 수는 있습니다. 하지만 10차식의 조립제법은 시험장에서 쓸 방법이 아닙니다. 분모가 x+1, 즉 x−(−1)이라는 점이 이미 답을 가리키고 있습니다. 앞 문제(0330)와 완전히 같은 구조인데, 기준점이 1이 아니라 −1이라는 것만 다릅니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 분모를 고쳐 쓰기
분모를 x+1이 아니라 x−(−1)로 다시 적어 보세요. 이 한 줄만으로 기준점이 −1이라는 게 눈에 들어옵니다.
그렇다면 분자는 f(x)−f(−1) 모양이어야 합니다. 상수 +2가 왜 붙어 있는지 생각해 보세요.
그렇다면 분자는 f(x)−f(−1) 모양이어야 합니다. 상수 +2가 왜 붙어 있는지 생각해 보세요.
힌트 2 — f를 잡기
f(x)=x¹⁰+3x로 두면 f(−1)=1−3=−2입니다.
그러면 분자 x¹⁰+3x+2는 정확히 f(x)−(−2)=f(x)−f(−1). 문제의 +2는 −f(−1)이었던 셈입니다.
그러면 분자 x¹⁰+3x+2는 정확히 f(x)−(−2)=f(x)−f(−1). 문제의 +2는 −f(−1)이었던 셈입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
구하는 값은 f′(−1)입니다. f′(x)=10x⁹+3.
x=−1을 대입할 때 9는 홀수이므로 (−1)⁹=−1입니다. 부호를 그대로 살려서 계산하세요.
x=−1을 대입할 때 9는 홀수이므로 (−1)⁹=−1입니다. 부호를 그대로 살려서 계산하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
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정답 −7
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더 빠른 길 — 두 조각으로 쪼개기
분자를 (x¹⁰−1)+3(x+1)로 나눠 씁니다. 뒤 조각은 그대로 약분되어 3.
앞 조각 (x¹⁰−1)/{x−(−1)}은 g(x)=x¹⁰에 대한 g′(−1)이므로 10(−1)⁹=−10.
따라서 −10+3=−7. 상수항 처리를 눈으로 확인하고 싶을 때 쓰기 좋은 길입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
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(−1)⁹을 1로 계산한다
f′(−1)=10(−1)⁹+3에서 지수 9는 홀수이므로 −1입니다. 1로 잘못 보면 답이 13이 나옵니다. 답이 양수로 나왔다면 십중팔구 여기입니다. -
분모를 x−(−1)로 고쳐 쓰지 않는다
x+1인 채로 두면 기준점을 1로 착각해 f′(1)을 구하게 됩니다. 미분계수의 정의를 쓰는 문제는 분모를 x−a 꼴로 정리하는 것이 첫 동작입니다. -
10차 조립제법에 들어간다
계산이 되기는 하지만 항이 열 개를 넘어가 시간과 부호를 모두 잃습니다. 분모가 일차식이고 분자가 0이 되는 순간, 나누는 게 아니라 미분계수로 읽는 쪽을 먼저 떠올리세요. -
f(x)=x¹⁰+3x+2로 두고 f(−1)을 −2로 쓴다
f(x)=x¹⁰+3x+2로 잡아도 f(−1)=0이라 정답은 같습니다. 다만 그 경우 f(−1)은 0입니다. f를 바꿨으면 f(−1)도 다시 계산하세요. -
0/0 확인을 생략한다
분자에 x=−1을 대입해 0임을 먼저 보이는 것이 이 변형의 출발점입니다. 서술형이라면 이 확인 없이 f′(−1)로 넘어간 답안은 논리가 비어 있습니다.