쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수 · 유형 15
0325
난이도 중
미분계수를 이용한 극한값의 계산
풀이영상 있음
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미분계수를 이용한 극한값의 계산
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함수 f(x)=(x²+3x)(−x²+x+2)에 대하여
limn→∞ n { f(−1 + 1/n) − f(−1 − 1/n) } 의 값을 구하시오.
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문제를 읽자마자
출제의도
n→∞를 1/n = h 로 치환해서, 0323과 똑같은 문제로 바꾸라는 문제
겉모습은 수열의 극한이지만 속은 0323과 완전히 같습니다. 앞에 곱해진 n이 사실은 1/h, 즉 분모의 h라는 것만 알아채면 됩니다. 여기에 f(x)의 인수분해된 형태를 활용해 f′(−1)을 얼마나 빨리 뽑느냐가 실전 시간 차이를 만듭니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 낯선 옷 벗기기
n이 밖에 곱해져 있어 미분계수처럼 안 보일 뿐입니다. 1/n = h 로 놓아 보세요.
그러면 n = 1/h 이므로 앞의 n은 ÷ h 로 내려갑니다. 그리고 n→∞일 때 h는 어디로 가나요?
그러면 n = 1/h 이므로 앞의 n은 ÷ h 로 내려갑니다. 그리고 n→∞일 때 h는 어디로 가나요?
힌트 2 — 0323과 같은 얼굴
치환하면 식은 limh→0 { f(−1+h) − f(−1−h) } / h 가 됩니다. 0323과 a만 다른 같은 문제죠.
분자에 f(−1)을 더하고 빼서 두 덩어리로 쪼개면 2f′(−1) 입니다. 남은 일은 f′(−1) 하나입니다.
분자에 f(−1)을 더하고 빼서 두 덩어리로 쪼개면 2f′(−1) 입니다. 남은 일은 f′(−1) 하나입니다.
힌트 3 — f′(−1)을 빠르게
곱의 미분법으로 f′(x)=(2x+3)(−x²+x+2)+(x²+3x)(−2x+1)을 만든 뒤 x=−1을 넣어도 됩니다. 이때 앞 항이 0이 된다는 것을 미리 알면 계산이 절반으로 줍니다. −1−1+2=0이니까요.
더 빠른 길도 있습니다. −x²+x+2 = −(x+1)(x−2) 로 인수분해해 보세요. f(x) 전체가 (x+1)을 인수로 갖습니다.
더 빠른 길도 있습니다. −x²+x+2 = −(x+1)(x−2) 로 인수분해해 보세요. f(x) 전체가 (x+1)을 인수로 갖습니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 −12
풀이영상
더 빠른 길 — 인수분해해 두고 f′(−1) 뽑기
−x²+x+2 = −(x+1)(x−2) 이므로 f(x) = x(x+3)·{−(x+1)(x−2)} 입니다. 즉 f(x)는 (x+1)을 인수로 가집니다.
곱의 미분에서 x=−1을 넣으면 (x+1)을 미분한 항만 살아남고 나머지는 전부 0이 됩니다. 따라서
f′(−1) = [ x(x+3)·{−(x−2)} ]x=−1 = (−1)(2)(3) = −6, 답은 2×(−6) = −12.
f(a)=0인 문항에서 늘 통하는 손버릇이니 익혀 두면 좋습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
앞의 n을 그냥 상수처럼 두고 f(−1)−f(−1)=0 이라고 결론짓는다
괄호 안이 0으로 가는 것은 맞지만 앞의 n은 ∞로 갑니다. ∞×0 꼴이라 그대로 0이라고 말할 수 없습니다. 반드시 치환해서 0/0 꼴로 바꾸세요. -
치환 후 n→∞ ⟹ h→0 을 쓰지 않는다
1/n=h로 놓았으면 극한 변수도 바뀝니다. 이 한 줄이 서술형 감점 기준입니다. -
답을 f′(−1)로 적는다
두 덩어리로 쪼갠 결과는 f′(−1)+f′(−1)=2f′(−1)입니다. −6에서 멈추면 절반짜리 답입니다. -
곱의 미분법에서 한쪽만 미분한다
(uv)′=u′v+uv′. 항이 두 개 나와야 정상입니다. 항이 하나뿐이면 다시 쓰세요. -
−x²+x+2 에 x=−1을 넣을 때 부호를 흘린다
−(−1)²+(−1)+2 = −1−1+2 = 0. 첫 항의 −가 제곱 앞에 있다는 것을 놓치면 값이 2로 나오고 f′(−1)이 통째로 달라집니다. -
답의 부호를 +12로 적는다
f′(−1)=−6이므로 2f′(−1)=−12. 값을 구한 뒤 부호만 따로 한 번 더 확인하는 습관을 들이세요.