쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수 · 유형 15
0324
난이도 중
미분계수를 이용한 극한값의 계산
풀이영상 있음
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함수 f(x)=x³−4x²에 대하여
limx→2 [ {f(x)}² − {f(2)}² ] / (x−2) 의 값을 구하시오.
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문제를 읽자마자
출제의도
제곱을 전개하지 말고, 합차공식으로 인수분해해서 정의 꼴을 꺼내라는 문제
분자가 {f(x)}²−{f(2)}² 이고 분모가 x−2입니다. 형태만 보면 미분계수의 정의인데, 분자에 제곱이 씌워져 있어 바로 읽히지 않을 뿐입니다. A²−B²=(A−B)(A+B)로 한 번 갈라 주면 {f(x)−f(2)}/(x−2) 가 그대로 튀어나옵니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 분자를 노려보기
f(x)=x³−4x²를 제곱해서 6차식으로 만들 생각이라면 멈추세요. 그 길은 이 문제가 원하는 길이 아닙니다.
분자를 A²−B² 로 보세요. A=f(x), B=f(2)입니다. 이 꼴은 무엇으로 인수분해되나요?
분자를 A²−B² 로 보세요. A=f(x), B=f(2)입니다. 이 꼴은 무엇으로 인수분해되나요?
힌트 2 — 정의 꼴 꺼내기
분자는 {f(x)−f(2)}{f(x)+f(2)} 입니다. 이제 식 전체를
[ {f(x)−f(2)} / (x−2) ] × { f(x)+f(2) } 로 분리해 쓰세요.
앞 괄호의 극한은 f′(2), 뒤 괄호는 x→2를 대입하면 됩니다. f(x)는 다항함수라 연속이니 대입해도 됩니다.
[ {f(x)−f(2)} / (x−2) ] × { f(x)+f(2) } 로 분리해 쓰세요.
앞 괄호의 극한은 f′(2), 뒤 괄호는 x→2를 대입하면 됩니다. f(x)는 다항함수라 연속이니 대입해도 됩니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
답은 f′(2) × 2f(2) 꼴입니다. 이제 두 값만 구하면 됩니다.
f(2)=2³−4·2² 를 계산하세요. 음수가 나옵니다.
f′(x)=3x²−8x 에서 f′(2)도 음수입니다. 음수 두 개가 곱해지니 최종 부호는 양수입니다.
f(2)=2³−4·2² 를 계산하세요. 음수가 나옵니다.
f′(x)=3x²−8x 에서 f′(2)도 음수입니다. 음수 두 개가 곱해지니 최종 부호는 양수입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 64
풀이영상
더 빠른 길 — g(x)={f(x)}² 로 통째로 묶기
g(x)={f(x)}² 로 두면 주어진 식은 limx→2 {g(x)−g(2)}/(x−2), 즉 g′(2) 그 자체입니다.
g′(x)=2f(x)f′(x) 이므로 g′(2)=2·f(2)·f′(2)=2·(−8)·(−4)=64. 인수분해 과정 없이 두 줄로 끝납니다.
단, 합성함수의 미분법을 배운 뒤에 쓸 수 있는 방법이니 진도를 확인하고 사용하세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
{f(x)}²를 실제로 전개한다
(x³−4x²)²는 6차식이 됩니다. 인수정리로 (x−2)를 나누는 데만 한참 걸리고 부호 실수가 반드시 납니다. 분자에 제곱이 보이면 먼저 A²−B²를 의심하세요. -
f(2)=−8인데 8로 계산한다
f(2)=8−16=−8. 여기서 부호를 놓치면 2f(2)=16이 되어 답이 −64로 뒤집힙니다. 이 문제에서 가장 많이 나오는 실수입니다. -
f′(2)만 구하고 답으로 적는다
f′(2)=−4는 답의 일부일 뿐입니다. 반드시 {f(x)+f(2)} → 2f(2) 부분을 곱해야 합니다. -
f′(x)=3x²−8x 에서 −4x²의 미분을 −8이나 −4x로 적는다
(−4x²)′=−8x 입니다. f′(2)=12−16=−4. 계수 4와 지수 2가 곱해져 8이 된다는 것을 눈으로 확인하고 넘어가세요. -
극한을 쪼갠 근거를 쓰지 않는다
서술형에서는 “두 극한이 각각 존재하므로 곱의 극한으로 분리한다”는 문장이 필요합니다. f(x)가 다항함수라 x=2에서 연속이라는 점도 함께 적으면 안전합니다.