쎈미적분1 0320

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쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분법 · 유형14 곱의 미분법; y={f(x)}ⁿ 꼴

0320
대표 문제
{f(x)}ⁿ의 미분
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쎈 미적분1 0320번 문제

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출제의도

(x²+1)⁵를 전개하지 말고, {f(x)}ⁿ 공식 한 줄로 끝내라는 문제

이 유형의 대표 문제입니다. 묻는 것은 계산력이 아니라 y={f(x)}ⁿ ⟹ y′=n{f(x)}ⁿ⁻¹·f′(x)를 반사적으로 꺼내 쓰는가, 그리고 뒤에 붙는 f′(x)를 빠뜨리지 않는가입니다. 전개하면 10차식이 되므로 애초에 그 길은 출제자가 막아 둔 길입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 방향부터 잡기
(x²+1)⁵를 이항정리로 펼치려 하고 있다면 멈추세요.
이 식은 겉함수 ( )⁵ 와 속함수 x²+1이 겹쳐진 모양입니다. 겉을 먼저 미분하고, 속을 따로 미분해서 곱하는 구조를 떠올리세요.
힌트 2 — 공식 그대로 쓰기
y={f(x)}ⁿ이면 y′=n{f(x)}ⁿ⁻¹·f′(x)입니다.
여기서 n=5, f(x)=x²+1이므로 f′(x)=2x. 이 2x를 반드시 뒤에 곱해야 합니다. 5(x²+1)⁴에서 멈추면 안 됩니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f′(x)=10x(x²+1)⁴까지 왔나요? 이제 x=1을 대입합니다.
x²+1=2이고 지수는 5가 아니라 4입니다. 2⁴=16이라는 것만 정확히 세면 끝입니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ⑤  f′(1) = 160

쎈 미적분1 0320번 해설

풀이영상

같은 계산, 다른 시선 — 치환으로 보기

t=x²+1로 두면 y=t⁵이므로 dy/dt=5t⁴, dt/dx=2x.
dy/dx=(dy/dt)·(dt/dx)=5t⁴·2x=10x(x²+1)⁴. 공식을 외운 게 아니라 합성함수 미분법 그 자체라는 걸 확인해 두면, 지수가 분수나 음수로 바뀌어도 흔들리지 않습니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 속미분 2x를 빠뜨린다
    5(x²+1)⁴에서 멈추면 f′(1)=5·16=80, 즉 선지 ④가 나옵니다. 80은 이 실수를 그대로 받아 주려고 깔아 둔 함정입니다. 답이 ④로 나왔다면 계산이 아니라 공식을 다시 보세요.
  • 지수를 5로 그대로 둔다
    미분하면 지수가 하나 줄어 4가 됩니다. 2⁵=32로 계산해 320이 나오는 실수가 많습니다.
  • 대입을 먼저 하고 미분한다
    x=1을 먼저 넣으면 f(1)=32라는 상수가 되고, 상수의 미분은 0입니다. 순서는 언제나 미분 → 대입입니다.
  • 전개해서 풀려고 시간을 쓴다
    (x²+1)⁵는 전개해도 답은 나오지만 10차식을 미분해야 합니다. 이 유형에서 전개를 선택했다면, 그 판단 자체를 고쳐야 합니다.
  • 2⁴을 8로 센다
    2⁴=16입니다. 마지막에 10·1·16=160. 거듭제곱 한 칸 차이가 답을 절반으로 만듭니다.


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