쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
0319
난이도 상
미분계수의 정의 + 곱의 미분법
서술형
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문제를 읽자마자
출제의도
극한식 하나에서 함숫값과 미분계수를 둘 다 꺼내는 문제
주어진 것은 극한 두 개뿐인데 구해야 할 h′(2)에는 f(2), f′(2), g(2), g′(2) 네 값이 필요합니다. 분모가 0으로 가는데 극한이 존재한다 → 분자도 0으로 가야 한다, 이 논리로 f(2)=3을 먼저 확정하고, 그러면 같은 식이 미분계수의 정의 꼴 {f(x)−f(2)}/(x−2)로 바뀌어 f′(2)=2가 나옵니다. 하나의 식에서 두 정보를 순서대로 뽑아내는 절차가 핵심이고, 서술형이므로 그 순서를 문장으로 쓰는 것까지가 답안입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 분모가 0으로 갈 때의 원칙
x→2일 때 분모 (x−2)→0인데 극한값이 2로 존재합니다.
분자가 0이 아닌 값으로 가면 극한은 발산하겠죠. 그러므로 분자도 0으로 가야 합니다. 즉 lim{f(x)−3}=0이고, f는 다항함수라 연속이므로 f(2)=3입니다.
분자가 0이 아닌 값으로 가면 극한은 발산하겠죠. 그러므로 분자도 0으로 가야 합니다. 즉 lim{f(x)−3}=0이고, f는 다항함수라 연속이므로 f(2)=3입니다.
힌트 2 — 같은 식을 정의 꼴로 다시 읽기
f(2)=3을 얻었으니 분자의 3을 f(2)로 바꿔 쓸 수 있습니다.
그러면 {f(x)−f(2)}/(x−2)의 x→2 극한 — 이것이 바로 미분계수의 정의입니다. 따라서 f′(2)=2.
그러면 {f(x)−f(2)}/(x−2)의 x→2 극한 — 이것이 바로 미분계수의 정의입니다. 따라서 f′(2)=2.
힌트 3 — g에도 똑같이
두 번째 식도 완전히 같은 절차입니다. 분자 g(x)−1이 0으로 가야 하므로 g(2)=1, 그러면 그 극한은 g′(2)이므로 g′(2)=4.
네 값이 모두 모였습니다: f(2)=3, f′(2)=2, g(2)=1, g′(2)=4.
네 값이 모두 모였습니다: f(2)=3, f′(2)=2, g(2)=1, g′(2)=4.
힌트 4 — 마지막 한 걸음
h(x)=f(x)g(x)이므로 곱의 미분법으로 h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).
x=2를 넣으면 h′(2)=f′(2)g(2)+f(2)g′(2). 미분한 쪽과 미분 안 한 쪽의 짝이 어긋나지 않게 대입하세요.
x=2를 넣으면 h′(2)=f′(2)g(2)+f(2)g′(2). 미분한 쪽과 미분 안 한 쪽의 짝이 어긋나지 않게 대입하세요.
다 풀고 나서
해설
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정답 14
채점 기준
| ❶ f(2), f′(2)의 값을 구할 수 있다. | 40 % |
| ❷ g(2), g′(2)의 값을 구할 수 있다. | 40 % |
| ❸ h′(2)의 값을 구할 수 있다. | 20 % |
더 빠른 길 — 정보 표를 먼저 그리고 채우기
답안지 여백에 f(2)·f′(2)·g(2)·g′(2) 네 칸짜리 표를 먼저 그려 두면, 극한식 하나가 표의 두 칸을 채운다는 구조가 눈에 보입니다.
첫 식 → f(2)=3, f′(2)=2 / 둘째 식 → g(2)=1, g′(2)=4. 네 칸이 다 차면 h′(2)=f′(2)g(2)+f(2)g′(2)=2·1+3·4=14.
배점이 40·40·20으로 갈리는 이유도 이 표와 정확히 같습니다. 표 두 줄이 곧 만점 답안의 뼈대입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(2)=3의 근거를 쓰지 않고 결과만 적는다
서술형에서 감점이 가장 많이 나오는 자리입니다. “분모→0이고 극한값이 존재하므로 분자→0이다”라는 한 문장이 반드시 있어야 ❶의 40%가 온전히 인정됩니다. 결론만 적으면 부분점수로 깎입니다. -
f(2)=3과 f′(2)=2를 뒤바꾼다
분자의 상수 3이 함숫값, 극한값 2가 미분계수입니다. 구한 즉시 f(2)=3, f′(2)=2라고 나란히 적어 두면 마지막 대입에서 헷갈리지 않습니다. -
h′(2)=f′(2)g′(2)로 계산한다
곱의 미분법은 항이 두 개입니다. f′(2)g′(2)=8은 오답입니다. “미분한 것 × 안 미분한 것”을 두 번 더한다고 소리 내어 확인하세요. -
대입할 때 짝을 어긋나게 쓴다
f′(2)g(2)=2·1이고 f(2)g′(2)=3·4입니다. f′(2)g′(2)+f(2)g(2)처럼 섞으면 2·4+3·1=11이 나옵니다. 각 항에서 프라임(′)이 하나씩만 있는지 눈으로 확인하고 넘어가세요. -
다항함수 조건을 그냥 지나친다
lim{f(x)−3}=0에서 f(2)=3으로 넘어가려면 x=2에서의 연속이 필요합니다. 문제가 “두 다항함수”라고 못 박아 준 이유가 이것입니다. 답안에 근거로 한 번 언급하면 논리가 완결됩니다. -
❶❷만 하고 ❸을 마무리하지 않는다
네 값을 다 구해 놓고 h′(2) 계산을 빠뜨리면 20%가 그대로 날아갑니다. 답안 맨 끝에 “따라서 h′(2)=14″라는 결론 문장을 반드시 쓰세요.
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