쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수 · 유형 12 미분법의 공식
0312
대표 문제
미분법의 공식
풀이영상 있음
대표 문제
미분법의 공식
풀이영상 있음
함수 f(x) = x10 + x9 + x8 + ⋯ + x2 + x + 1에 대하여 f′(1)의 값은?
① 45② 50③ 55④ 60⑤ 65
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문제를 읽자마자
출제의도
항이 열한 개여도 규칙은 하나, xⁿ → nxⁿ⁻¹ 을 그대로 밀어붙이라는 문제
겉보기에 항이 많아 겁을 주지만, 실제로 요구하는 것은 xn의 미분 공식과 항별 미분 두 가지뿐입니다. x=1을 대입하는 순간 모든 거듭제곱이 1이 되므로 남는 것은 계수의 합, 즉 1부터 10까지의 합입니다. 유형 12의 대표 문제답게 “공식 → 대입 → 수열의 합”이라는 표준 흐름을 그대로 보여 줍니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 항이 많다고 겁내지 말 것
f(x)를 하나의 덩어리로 보지 말고 항마다 따로 미분하세요. y = af(x) ± bg(x) 이면 y′ = af′(x) ± bg′(x) 입니다. 항이 열한 개면 미분도 열한 번 하면 그만입니다.
맨 끝의 상수항 1은 미분하면 무엇이 되나요?
맨 끝의 상수항 1은 미분하면 무엇이 되나요?
힌트 2 — 도함수의 모양 보기
f′(x) = 10x9 + 9x8 + 8x7 + ⋯ + 2x + 1 입니다. 지수가 하나씩 내려오면서 그 지수가 계수로 나왔습니다.
이제 x=1을 대입하면 x9, x8, … 이 전부 1이 됩니다. 그러면 f′(1)은 어떤 수들의 합이 되나요?
이제 x=1을 대입하면 x9, x8, … 이 전부 1이 됩니다. 그러면 f′(1)은 어떤 수들의 합이 되나요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f′(1) = 10 + 9 + 8 + ⋯ + 2 + 1, 즉 1부터 10까지의 합입니다.
1+2+⋯+n = n(n+1)/2 를 쓰세요. n을 9로 잡을지 10으로 잡을지가 갈림길입니다. 도함수의 첫 항 계수가 10이라는 점을 근거로 확인하세요.
1+2+⋯+n = n(n+1)/2 를 쓰세요. n을 9로 잡을지 10으로 잡을지가 갈림길입니다. 도함수의 첫 항 계수가 10이라는 점을 근거로 확인하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ③ f′(1) = 55
풀이영상
구조로 외우는 법 — 계수의 합으로 바꿔 읽기
f(x) = Σk=010 xk 이므로 f′(x) = Σk=110 k·xk−1, 따라서 f′(1) = Σk=110 k = (10·11)/2 = 55.
일반화하면 x=1에서의 미분계수는 각 항의 지수를 모두 더한 값입니다. 계수가 모두 1인 다항식이라면 대입 없이 지수만 세어도 답이 나옵니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
상수항 1을 미분해서 1로 남겨 둔다
y=c이면 y′=0입니다. 상수항 1이 도함수에 그대로 살아남으면 답이 56이 됩니다. 도함수의 마지막 항은 x를 미분한 1이지, 상수항이 아닙니다. -
1부터 9까지 더한다
도함수의 계수는 10, 9, 8, …, 2, 1 로 10개입니다. n=9로 착각하면 45가 나와 ①번 함정에 그대로 걸립니다. 첫 계수가 10임을 확인하고 n=10으로 잡으세요. -
f(1)을 구하고 답으로 쓴다
f(1)=11입니다. 구하는 것은 도함수의 값 f′(1). 미분을 먼저 끝내고 그다음에 대입한다는 순서를 답안에도 그대로 적으세요. -
지수를 내리면서 계수 곱을 빠뜨린다
x9의 미분은 x8이 아니라 9x8입니다. 지수를 앞으로 내리는 것과 지수를 1 줄이는 것은 한 세트입니다. -
등비수열 합 공식으로 f(x)를 먼저 압축한다
f(x)=(x11−1)/(x−1)로 바꾸면 x=1에서 분모가 0이 되어 오히려 길이 막힙니다. 이 문제는 항별 미분이 가장 빠릅니다.