쎈미적분1 0302

작성자:

쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수

0302
난이도 중
그래프와 미분가능성
풀이영상 있음

쎈 미적분1 0302번 문제

먼저 보고 싶다면

풀이영상 바로보기

문제를 읽자마자

출제의도

계산 문제가 아니라 세는 문제입니다. 극한·연속·미분가능·f′=0을 그래프 하나로 구분하라는 것

이 그래프에서 특별한 일이 일어나는 곳은 x=2, x=3, x=4 세 지점뿐입니다. 나머지는 매끄러운 곡선이라 볼 필요가 없습니다. 출제자가 노리는 것은 “불연속인 점의 개수”와 “미분가능하지 않은 점의 개수”를 같은 것으로 착각하는지, 그리고 f′(x)=0인 점을 빠짐없이 세는지입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 볼 곳부터 좁히기
선지 5개를 한꺼번에 보지 마세요. 먼저 그래프에서 매끄럽지 않은 지점만 표시합니다.
꺾인 곳 하나(x=2), 점이 떨어져 있는 곳 둘(x=3, x=4). 판정은 전부 이 세 곳에서만 일어납니다.
힌트 2 — 연속과 미분가능은 개수가 다르다
x=3, x=4는 좌우로 이어지지 않았으니 불연속입니다. 그런데 x=2는 어떤가요?
선은 끊기지 않았지만 뾰족하게 꺾여 있습니다. 연속이면서 미분가능하지 않은 점이 바로 이런 곳입니다. 그래서 두 개수는 같을 수 없습니다.
힌트 3 — 마지막 선지, 봉우리와 골짜기를 전부 세기
f′(x)=0은 접선이 수평인 곳, 즉 봉우리(극대)와 골짜기(극소)를 모두 포함합니다.
구간 (0, 2)에서 올라갔다 내려왔다 하는 부분을 다시 보세요. 여기서만 2개가 나오고, (2, 3)에도 봉우리가 하나 더 있습니다. 답은 “2개”가 아닙니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ⑤

쎈 미적분1 0302번 해설

풀이영상

정리해 두면 다음 문제가 빨라지는 표

x=2 — 연속 ○ / 미분가능 ✕ (꺾임)
x=3 — 좌우극한은 같아 극한 존재 ○ / 연속 ✕ / 미분가능 ✕
x=4 — 극한 ✕ / 연속 ✕ / 미분가능 ✕
따라서 불연속 2개, 미분불가능 3개, f′(x)=0인 점 3개입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 불연속 개수와 미분불가능 개수를 같다고 본다
    불연속이면 반드시 미분불가능이지만, 그 역은 성립하지 않습니다. 뾰족점(x=2)은 연속인데도 미분불가능이므로 미분불가능 쪽 개수가 항상 크거나 같습니다.
  • f′(x)=0인 점을 봉우리만 센다
    골짜기(극소)에서도 접선은 수평입니다. 올라갔다 내려온 지점과 내려갔다 올라온 지점을 모두 표시한 뒤 개수를 세세요.
  • x=3에서 극한이 없다고 판단한다
    좌극한과 우극한이 같으면 함숫값이 어디에 찍혀 있든 극한은 존재합니다. 극한 존재와 연속은 별개의 조건입니다.
  • 구간 끝점 x=−1, x=5를 개수에 포함한다
    주어진 구간은 열린구간 (−1, 5)입니다. 끝점은 정의역 밖이므로 연속·미분가능 판정 대상이 아닙니다.
  • “옳지 않은 것”을 묻는데 옳은 것을 고른다
    선지 5개 중 4개가 맞는 설명입니다. 맞는 선지에 표시해 두고 남은 하나를 답으로 적는 습관을 들이세요.


다른 문항도 풀어보기 — 전체 목록 바로가기  ›

문제번호로 바로 찾아가는 메인포스트

댓글 남기기