쎈미적분1 0298

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쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수

0298
난이도 상
그래프와 미분계수의 대소
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쎈 미적분1 0298번 문제

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문제를 읽자마자

출제의도

그림 속 y=x는 장식이 아니라, 기울기 1과 비교하라고 그려 준 자

보기 네 개가 서로 다른 종류의 기울기를 묻습니다. ㄱ은 할선의 기울기와 1의 비교, ㄴ은 원점과 이은 직선의 기울기 비교, ㄷ은 접선끼리의 비교, ㄹ은 산술평균과 기하평균의 대소를 접선 기울기로 바꾸는 문제입니다. 계산은 없고, 전부 “어느 직선의 기울기인가”를 정확히 지목하는 싸움입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 그림에서 확정되는 두 가지
첫째, 곡선은 증가하면서 점점 완만해집니다. 즉 위로 볼록이고 접선의 기울기는 x가 커질수록 작아집니다.
둘째, 곡선이 직선 y=x보다 아래에 있습니다. 이 둘 중 어느 것이 ㄱ에 쓰이고 어느 것이 ㄷ에 쓰일까요?
힌트 2 — ㄱ과 ㄴ은 어떤 직선의 기울기인가
ㄱ의 f(b)−f(a)와 b−a를 나눠 보면 두 점 A, B를 잇는 할선의 기울기가 나옵니다. 이 기울기를 y=x의 기울기 1과 비교하세요.
ㄴ의 f(a)/a는 원점과 점 A를 잇는 직선의 기울기입니다. f(b)/b도 마찬가지입니다. 원점에서 곡선 위 점을 이었을 때, 점이 오른쪽으로 갈수록 그 직선은 눕나요, 서나요?
힌트 3 — ㄹ은 부등식 하나면 끝
0<a<b이므로 (a+b)/2 > √(ab)입니다. 여기까지가 대수, 나머지는 그림입니다.
접선의 기울기는 x가 클수록 작아지므로, 더 작은 x인 √(ab)에서의 기울기가 더 큽니다. 부등호를 뒤집지 말고 그대로 옮겨 적으세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

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정답 ㄴ, ㄹ

쎈 미적분1 0298번 해설

확인용 반례 — 구체적인 함수 하나 대입하기

조건에 맞는 함수로 f(x)=√x 를 잡고 a=1, b=4를 넣어 보세요.
ㄱ: 2−1=1 < 4−1=3 (거짓) / ㄴ: 1/1=1 > 2/4=0.5 (참) / ㄷ: f′(1)=0.5 > f′(4)=0.25 이므로 보기의 f′(a)<f′(b)는 거짓 / ㄹ: √4=2 < 2.5 이고 f′(2)>f′(2.5) (참).
시험장에서 판단이 흔들릴 때 30초면 확인이 끝납니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • ㄱ에서 y=x를 쓰지 않는다
    곡선이 y=x 아래에 있어 할선의 기울기가 1보다 작다는 것이 유일한 근거입니다. b−a>0이므로 양변에 곱하면 f(b)−f(a)<b−a. 부등호가 반대이므로 ㄱ은 거짓입니다.
  • f(a)/a와 f(b)/b를 함숫값 크기로 비교한다
    f(a)<f(b)라고 f(a)/a<f(b)/b가 되는 것이 아닙니다. 이 둘은 원점에서 그은 직선의 기울기이고, 위로 볼록이므로 오른쪽 점일수록 더 눕습니다. 따라서 f(a)/a > f(b)/b.
  • ㄷ에서 “증가함수니까 기울기도 커진다”고 생각한다
    증가는 f′>0일 뿐이고, 기울기가 커지는지는 볼록성이 결정합니다. 위로 볼록이므로 f′(a) > f′(b)이고 보기 ㄷ은 거짓입니다.
  • √(ab)와 (a+b)/2의 대소를 뒤집는다
    산술평균이 기하평균 이상, 즉 (a+b)/2 ≥ √(ab)입니다. a<b이므로 등호는 성립하지 않습니다. 방향을 반대로 잡으면 ㄹ이 거짓이 되어 답이 통째로 달라집니다.
  • 대소를 뒤집을 때 f′의 감소성을 한 번 더 적용하지 않는다
    √(ab)<(a+b)/2 에서 f′(√(ab))>f′((a+b)/2)로 넘어갈 때 부등호가 뒤집힙니다. f′가 감소한다는 문장을 서술형에서는 반드시 한 줄로 써야 감점되지 않습니다.


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