쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
0288
난이도 중상
미분계수의 정의
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문제를 읽자마자
출제의도
“극한값이 존재한다”를 분자 → 0으로 번역하고, 남은 식을 미분계수 정의에 맞춰 잘라내는 문제
x→1일 때 분모 x³−1은 0으로 갑니다. 그런데 전체 극한이 4라는 유한한 값이라면 분자도 0으로 갈 수밖에 없고, 여기서 f(3)=6이 먼저 확정됩니다. 두 번째 관문은 분자 f(x+2)−f(3)의 짝이 x−1이 아니라 (x+2)−3이라는 점입니다. 나머지는 x³−1=(x−1)(x²+x+1) 인수분해입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 분모부터 보기
f가 어떤 함수인지는 알 수 없습니다. 대신 분모를 보세요. x→1이면 x³−1→0인데, 극한값은 4라는 유한한 값입니다.
0이 아닌 값을 0으로 나눌 수는 없습니다. 그렇다면 분자는 어디로 가야 하나요? 그 한 줄에서 f(3)의 값이 정해집니다.
0이 아닌 값을 0으로 나눌 수는 없습니다. 그렇다면 분자는 어디로 가야 하나요? 그 한 줄에서 f(3)의 값이 정해집니다.
힌트 2 — 정의식 모양으로 맞추기
f(3)=6을 얻었으면 분자를 f(x+2)−f(3)으로 고쳐 쓰세요. 이건 미분계수 정의의 분자입니다.
그렇다면 분모에는 무엇이 와야 할까요? x−1이 아니라 (x+2)−3입니다. 두 값이 같다는 게 이 문제의 장치입니다.
그렇다면 분모에는 무엇이 와야 할까요? x−1이 아니라 (x+2)−3입니다. 두 값이 같다는 게 이 문제의 장치입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
분모를 (x−1)(x²+x+1)로 쪼개고, (x−1)은 정의식에 넘기고 1/(x²+x+1)은 따로 극한을 잡으세요. x→1이면 이 조각은 1/3입니다.
즉 (1/3)f′(3)=4. 그리고 문제가 물은 것은 f′(3)이 아니라 f(3)+f′(3)입니다.
즉 (1/3)f′(3)=4. 그리고 문제가 물은 것은 f′(3)이 아니라 f(3)+f′(3)입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 18 f(3)=6, f′(3)=12
더 깔끔한 길 — g(x)=f(x+2)로 이름 바꾸기
g(x)=f(x+2)라 두면 g(1)=f(3), g′(1)=f′(3)입니다.
주어진 극한은 limx→1 {g(x)−g(1)} / {(x−1)(x²+x+1)} = g′(1) × 1/3. 평행이동을 이름으로 흡수해 두면 “3에서의 미분계수”를 헷갈릴 일이 없습니다.
채점 기준 — 배점은 f′(3)에 몰려 있다
❶ f(3)의 값 구하기 30% / ❷ f′(3)의 값 구하기 60% / ❸ f(3)+f′(3) 구하기 10%.
점수의 60%가 정의식으로 바꾸는 과정에 걸려 있습니다. 인수분해와 (x+2)−3으로 맞추는 두 줄을 생략하지 말고 그대로 쓰세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(3)=6의 근거를 쓰지 않는다
결론만 적으면 30% 배점을 온전히 받기 어렵습니다. “분모→0이고 극한값이 존재하므로 분자→0” 이 한 줄이 근거입니다. -
증분을 x−1로 잡는다
f(x+2)−f(3)의 짝은 (x+2)−3입니다. 값이 같더라도 서술은 이 형태로 맞춰야 f′(3)이 나옵니다. -
f′(1)이라고 답한다
x→1이라는 글자에 끌린 실수입니다. f에 실제로 대입되는 값은 x+2, 즉 3입니다. -
1/(x²+x+1)을 흘린다
이 조각이 1/3을 만듭니다. 빠뜨리면 f′(3)=4가 되어 답이 10으로 어긋납니다. -
f′(3)=12까지 구하고 멈춘다
문제가 요구한 것은 f(3)+f′(3)입니다. 앞에서 구해 둔 f(3)=6을 다시 꺼내 더하세요.