쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수 · 유형 05
0287
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미분계수를 이용한 극한값의 계산
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출제의도
분자와 분모를 동시에 유리화해서 {f(x)−f(1)}/(x−1)을 끄집어내라는 문제
주어진 것은 f(1)=4와 f′(1)=3뿐이니, 목표는 이번에도 f′(1)=limx→1 {f(x)−f(1)}/(x−1)입니다. 그런데 지금 식은 분자에도 루트, 분모에도 루트가 있습니다. 루트 두 개를 한꺼번에 걷어내면 목표 형태가 그대로 드러납니다. 어려워 보이는 껍데기일 뿐, 유형 05의 같은 문제입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 목표 형태를 먼저 적기
종이 한쪽에 {f(x)−f(1)} / (x−1)을 먼저 써 두세요. 이것이 f′(1)입니다.
지금 식과 비교하면 다른 점은 딱 하나, 위아래에 루트가 씌워져 있다는 것뿐입니다. 할 일은 그 루트를 벗기는 것입니다.
지금 식과 비교하면 다른 점은 딱 하나, 위아래에 루트가 씌워져 있다는 것뿐입니다. 할 일은 그 루트를 벗기는 것입니다.
힌트 2 — 두 개를 한 번에 곱하기
분자와 분모에 (√f(x)+√f(1))(√x+1)을 동시에 곱하세요.
분자의 (√f(x)−√f(1))(√f(x)+√f(1))은 f(x)−f(1)이 되고, 분모의 (√x−1)(√x+1)은 x−1이 됩니다.
남는 조각들은 어디로 갈까요? 식을 두 덩어리의 곱으로 정리해 보세요.
분자의 (√f(x)−√f(1))(√f(x)+√f(1))은 f(x)−f(1)이 되고, 분모의 (√x−1)(√x+1)은 x−1이 됩니다.
남는 조각들은 어디로 갈까요? 식을 두 덩어리의 곱으로 정리해 보세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
정리하면 {f(x)−f(1)}/(x−1) × (√x+1)/(√f(x)+√f(1)) 입니다.
앞은 f′(1)=3. 뒤는 x→1에서 (1+1)/(2√f(1))인데, f(1)=4이므로 √f(1)=2, 즉 2/4=1/2입니다.
√4를 4로 착각하지 않도록 조심하세요.
앞은 f′(1)=3. 뒤는 x→1에서 (1+1)/(2√f(1))인데, f(1)=4이므로 √f(1)=2, 즉 2/4=1/2입니다.
√4를 4로 착각하지 않도록 조심하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 3/2
더 빠른 길 — 위아래를 각각 (x−1)로 나누기
g(x)=√f(x), h(x)=√x 로 두면 주어진 식은 {g(x)−g(1)}/{h(x)−h(1)} 입니다.
분자·분모를 각각 (x−1)로 나누면 [{g(x)−g(1)}/(x−1)] ÷ [{h(x)−h(1)}/(x−1)] → g′(1)/h′(1).
g′(x)=f′(x)/(2√f(x))에서 g′(1)=3/(2·2)=3/4, h′(x)=1/(2√x)에서 h′(1)=1/2.
따라서 (3/4)÷(1/2)=3/2. 유리화를 한 번도 하지 않고 끝납니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
분자만 유리화하고 분모의 √x−1은 그대로 둔다
분모가 √x−1인 채로는 (x−1)이 만들어지지 않아 미분계수 정의로 이어지지 않습니다. 위아래 루트는 같은 줄에서 동시에 처리한다고 외워 두세요. -
√f(1)을 f(1)로 착각한다
f(1)=4이므로 √f(1)=2입니다. √f(x)+√f(1)의 극한은 2+2=4이지 4+4=8이 아닙니다. 여기서 틀리면 답이 3/4로 나옵니다. -
남은 조각 (√x+1)/(√f(x)+√f(1))에 극한을 넣지 않는다
앞쪽만 f′(1)로 바꾸고 뒤쪽을 문자로 남겨 두면 답이 나오지 않습니다. x→1을 넣어 2/4=1/2까지 반드시 수치로 만드세요. -
f가 다항함수라는 근거를 쓰지 않고 √f(x)→√f(1)로 넘어간다
다항함수는 연속이므로 x→1에서 f(x)→f(1)이고, 따라서 √f(x)→√f(1)입니다. 서술형이라면 이 한 줄이 채점 포인트입니다. -
3/√4에서 멈춘다
√4=2로 정리해 3/2까지 써야 완결된 답입니다. 답을 구하시오 유형은 기약분수 형태로 마무리하는 습관을 들이세요.