쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수 · 유형 05
0286
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미분계수를 이용한 극한값의 계산
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문제를 읽자마자
출제의도
조건 f(3)=0을 왜 줬는지 알아채는 문제
분모 x²−2x−3은 x=3에서 0이 됩니다. 극한값이 존재하려면 분자도 0이어야 하고, 그래서 출제자가 f(3)=0을 준 것입니다. 이 조건의 진짜 용도는 “분자가 0이다”가 아니라 f(x)를 f(x)−f(3)으로 바꿔 쓸 권리입니다. 그 순간 미분계수 정의가 튀어나옵니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 분모부터 손보기
분자를 건드리기 전에 분모를 인수분해하세요. x²−2x−3은 합이 −2, 곱이 −3인 두 수, 즉 −3과 +1로 쪼개집니다.
(x−3)(x+1) — 여기서 (x−3)이 보이면 그게 미분계수 정의의 분모 자리입니다.
(x−3)(x+1) — 여기서 (x−3)이 보이면 그게 미분계수 정의의 분모 자리입니다.
힌트 2 — f(3)=0을 쓰는 자리
분자 f(x)는 그대로 두면 아무것도 아닙니다. f(3)=0이므로 f(x)=f(x)−f(3)으로 고쳐 쓸 수 있습니다. 값이 변하지 않는 공짜 변형입니다.
이제 식을 {f(x)−f(3)}/(x−3) 과 1/(x+1) 의 곱으로 갈라 놓으세요.
이제 식을 {f(x)−f(3)}/(x−3) 과 1/(x+1) 의 곱으로 갈라 놓으세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
앞쪽 {f(x)−f(3)}/(x−3)의 극한은 정의 그대로 f′(3)=8입니다.
뒤쪽 1/(x+1)에도 x→3을 넣어야 합니다. 1/4이죠. 두 극한을 곱하는 것이지 더하는 게 아닙니다.
뒤쪽 1/(x+1)에도 x→3을 넣어야 합니다. 1/4이죠. 두 극한을 곱하는 것이지 더하는 게 아닙니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ② 2
다른 눈 — 인수정리로 바꿔 보기
f(3)=0이므로 인수정리에 의해 f(x)=(x−3)g(x)로 쓸 수 있습니다(g는 다항식).
곱의 미분법에서 f′(x)=g(x)+(x−3)g′(x)이므로 f′(3)=g(3)=8.
주어진 식은 (x−3)g(x)/{(x−3)(x+1)}=g(x)/(x+1)이 되어, x→3에서 8/4=2. 미분계수 정의를 쓰지 않고도 같은 답이 나오며, “f(3)=0이 곧 (x−3)이라는 인수”라는 사실이 눈에 들어옵니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
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분모를 (x+3)(x−1)로 잘못 인수분해한다
x²−2x−3은 (x−3)(x+1)입니다. 부호를 바꿔 쓰면 (x−3)이 사라져 미분계수를 만들 길 자체가 막힙니다. 상수항 −3의 부호를 마지막에 한 번 더 확인하세요. -
f(3)=0을 “그냥 주어진 값”으로 흘려보낸다
이 조건은 계산용 숫자가 아니라 변형 허가증입니다. f(x)를 f(x)−f(3)으로 바꿔 쓰라고 준 것입니다. 조건을 어디에 썼는지 못 짚었다면 아직 안 푼 것입니다. -
(x+1) 쪽 극한을 취하지 않고 남겨 둔다
식을 두 덩어리로 나눴으면 각각에 x→3을 적용해야 합니다. 1/(x+1) → 1/4. 이 값을 빼먹고 8로 답하면 선택지에 없어서 되돌아오게 됩니다. -
1/4을 4로 뒤집어 곱한다
분모에 있던 (x+1)이므로 곱해지는 값은 1/4입니다. 8×4=32가 아니라 8×(1/4)=2. 분자·분모 위치를 옮길 때마다 한 번씩 소리 내어 확인하세요. -
f′(3)과 f(3)을 섞어 쓴다
정의 꼴로 바뀐 부분의 극한값은 f′(3)=8이고, f(3)=0은 이미 변형에 다 쓴 조건입니다. 마지막 줄에 f(3)이 다시 등장한다면 어딘가에서 꼬인 것입니다.