쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수 · 유형 05
0285
대표 문제
미분계수를 이용한 극한값의 계산
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미분계수를 이용한 극한값의 계산
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문제를 읽자마자
출제의도
분자에 f(2)를 더하고 빼서 미분계수의 정의 꼴을 억지로 만들어내라는 문제
주어진 것은 f(2)=2와 f′(2)=5, 딱 두 개입니다. f(x)의 식은 끝까지 나오지 않습니다. 그렇다면 답으로 가는 길은 하나뿐입니다. f′(2)=limx→2 {f(x)−f(2)}/(x−2) 이 모양을 분자 속에서 끄집어내는 것. 이 유형의 전 문항이 같은 한 수를 씁니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 먼저 꼴을 확인
x=2를 그대로 넣어 보세요. 분자는 2f(2)−2f(2)=0, 분모도 0. 0/0 꼴입니다.
0/0이라는 건 분자 안에 (x−2)로 약분될 구조가 숨어 있다는 뜻입니다. 그 구조가 바로 미분계수입니다.
0/0이라는 건 분자 안에 (x−2)로 약분될 구조가 숨어 있다는 뜻입니다. 그 구조가 바로 미분계수입니다.
힌트 2 — 없는 항을 만들어 넣기
분자 2f(x)−xf(2)에는 f(x)−f(2)가 보이지 않습니다. 그러면 2f(2)를 더했다가 다시 빼세요.
2f(x) −2f(2)+2f(2) −xf(2)
앞 두 항은 2{f(x)−f(2)}, 뒤 두 항은 f(2)로 묶입니다. 뒤 두 항을 (x−2)가 나오도록 묶어 보세요.
2f(x) −2f(2)+2f(2) −xf(2)
앞 두 항은 2{f(x)−f(2)}, 뒤 두 항은 f(2)로 묶입니다. 뒤 두 항을 (x−2)가 나오도록 묶어 보세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
2f(2)−xf(2)=−f(2)(x−2)입니다. 이제 분모 (x−2)로 나누면 뒤쪽은 통째로 −f(2)만 남습니다.
앞쪽은 2·{f(x)−f(2)}/(x−2) → 2f′(2). 계수 2를 잃지 마세요.
f(2)=2, f′(2)=5를 대입하면 끝입니다.
앞쪽은 2·{f(x)−f(2)}/(x−2) → 2f′(2). 계수 2를 잃지 마세요.
f(2)=2, f′(2)=5를 대입하면 끝입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ③ 8
더 빠른 길 — 새 함수로 묶어 정의 그대로 쓰기
g(x)=2f(x)−xf(2)로 두면 g(2)=2f(2)−2f(2)=0입니다.
따라서 주어진 극한은 limx→2 {g(x)−g(2)}/(x−2) = g′(2) 그 자체입니다.
f(2)는 상수이므로 g′(x)=2f′(x)−f(2), 즉 g′(2)=2·5−2=8. 더하고 빼는 조작 없이 한 줄로 끝납니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
분모 x−2를 보고 인수분해부터 시도한다
f(x)는 구체적인 식이 아니라 인수분해할 대상이 없습니다. “다항함수”라는 말은 식을 준다는 뜻이 아니라 미분가능하다는 뜻입니다. 곧바로 미분계수 정의를 떠올리세요. -
f(2)를 변수처럼 다룬다
f(2)=2는 그냥 상수 2입니다. xf(2)는 2x이고, 분자 전체를 2f(x)−2x로 바꿔 써도 똑같습니다. 상수라는 걸 인정해야 (x−2)로 묶을 수 있습니다. -
더하고 뺀 항의 부호를 잘못 짝짓는다
2f(2)−xf(2)는 −f(2)(x−2)입니다. f(2)(2−x)를 그대로 두면 부호가 뒤집혀 답이 12(⑤)로 나옵니다. 반드시 (x−2) 모양으로 맞춰 놓고 앞의 부호를 읽으세요. -
2f′(2)의 계수 2를 흘린다
분자 앞의 2는 극한 밖으로 그대로 나옵니다. 2×5=10에서 f(2)=2를 빼야 8입니다. 5−2=3(①)으로 답했다면 이 경우입니다. -
f(2)와 f′(2)를 바꿔 넣는다
f(2)=2, f′(2)=5입니다. 마지막 대입 직전에 두 값을 따로 적어 두고 넣으세요. 2f(2)−f′(2)=−1처럼 엉뚱한 값이 나오는 사고가 가장 흔합니다.
“쎈미적분1 0285”에 대한 1개의 생각