쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
0279
난이도 중
평균변화율과 순간변화율
풀이영상 있음
난이도 중
평균변화율과 순간변화율
풀이영상 있음
먼저 보기
풀이영상
문제를 읽자마자
출제의도
평균변화율 조건에서 f(x)를 거꾸로 복원한 뒤 미분계수를 구하라는 문제
f(x)가 어떤 함수인지 문제는 끝까지 알려주지 않습니다. 대신 “평균변화율이 t²”이라는 조건 하나가 f를 확정해 줍니다. 정의식 {f(t)−f(0)}/t 를 그대로 쓰는 것이 출발점이고, 그다음은 순간변화율이 곧 미분계수라는 용어 확인입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 정의부터 쓰기
평균변화율은 (y의 증가량) ÷ (x의 증가량)입니다. x가 0에서 t까지 변했으니 분모는 t−0, 분자는 f(t)−f(0).
이 식을 t²와 등호로 이어 보세요. 조건이 식 하나로 바뀝니다.
이 식을 t²와 등호로 이어 보세요. 조건이 식 하나로 바뀝니다.
힌트 2 — f를 되살리기
f(0)=1을 넣으면 {f(t)−1}/t = t². 양변에 t를 곱하면 f(t)가 t의 식으로 나옵니다.
여기서 t는 특정한 수가 아니라 아무 값이나 되는 변수입니다. 그래서 t를 x로 바꿔 f(x)로 써도 됩니다.
여기서 t는 특정한 수가 아니라 아무 값이나 되는 변수입니다. 그래서 t를 x로 바꿔 f(x)로 써도 됩니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
x=1에서의 순간변화율은 미분계수 f′(1)을 부르는 다른 이름입니다. f(x)=x³+1에서 f′(x)=3x².
평균변화율 식 t²에 t=1을 대입하는 것이 아니라는 점만 다시 확인하세요.
평균변화율 식 t²에 t=1을 대입하는 것이 아니라는 점만 다시 확인하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ③ f′(1) = 3
더 빠른 길 — f(0)=1은 사실 답에 관여하지 않는다
평균변화율 조건에서 f(t)−f(0)=t³, 즉 f(t)=t³+f(0)입니다. 상수항은 미분하면 사라지므로 f(0)이 몇이든 f′(x)=3x², f′(1)=3.
f(0)=1은 함수를 하나로 확정해 주는 조건일 뿐, 순간변화율 값에는 영향을 주지 않습니다. 이걸 알면 계산을 절반으로 줄일 수 있습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
평균변화율 t²에 t=1을 대입한다
그 값은 x가 0에서 1까지 변할 때의 평균변화율이지 x=1에서의 순간변화율이 아닙니다. 선택지 ① 1이 정확히 이 실수를 노리고 배치되어 있습니다. -
분모 t를 빠뜨리고 f(t)−f(0)=t²로 쓴다
평균변화율은 반드시 증가량의 ‘비’입니다. 분모를 흘리면 f(t)=t²+1이 되어 f′(1)=2, 즉 ②로 빠집니다. -
f(t)=t³+1에서 멈추고 t를 상수처럼 둔다
t는 임의의 값이므로 f(x)=x³+1로 바꿔 쓸 수 있다는 한 줄이 필요합니다. 이 줄이 있어야 f′(x)를 구할 수 있습니다. -
‘순간변화율’이라는 말에서 미분계수를 떠올리지 못한다
x=a에서의 순간변화율 = 미분계수 f′(a). 문제에서 용어가 바뀌어도 구할 것은 같습니다. -
f(0)=1을 쓰지 않고 넘어간다
답은 같지만 f를 확정하는 근거가 빠집니다. 서술형이라면 f(0)=1을 대입하는 줄이 채점 포인트입니다.