쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
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평균변화율의 기하적 의미
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문제를 읽자마자
출제의도
계산하지 말고 그래프에 선 세 개를 그어 기울기의 부호로 비교하라
함수식이 없으니 α, β, γ의 값을 구하는 것은 애초에 불가능합니다. 하지만 평균변화율이 두 점을 잇는 직선의 기울기라는 사실을 알면, 세 선분 AB·BC·CD를 그리는 것만으로 음수·0·양수가 그 자리에서 갈립니다. 대소 비교 문제를 부호 판정 문제로 바꾸는 것이 핵심입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 손을 먼저 움직이기
α, β, γ의 값을 구하려 하고 있다면 멈추세요. f(x)의 식이 없으므로 값은 나오지 않습니다.
그래프 위에 네 점 A(a, f(a)), B(b, f(b)), C(c, f(c)), D(d, f(d))를 찍고 선분 AB, BC, CD를 실제로 그으세요. α, β, γ는 각각 그 세 선분의 기울기입니다.
그래프 위에 네 점 A(a, f(a)), B(b, f(b)), C(c, f(c)), D(d, f(d))를 찍고 선분 AB, BC, CD를 실제로 그으세요. α, β, γ는 각각 그 세 선분의 기울기입니다.
힌트 2 — 조건 f(b)=f(c)의 정체
단서에 f(b)=f(c)가 있습니다. 두 점의 y좌표가 같다는 뜻이므로 선분 BC는 x축과 평행합니다.
기울기가 0인 직선, 즉 β=0입니다. 이 하나만 확정해도 선택지가 크게 줄어듭니다.
기울기가 0인 직선, 즉 β=0입니다. 이 하나만 확정해도 선택지가 크게 줄어듭니다.
힌트 3 — 나머지 둘의 부호
α는 A에서 B로 갈 때 y가 어떻게 되는지만 보면 됩니다. f(a) > f(b)이므로 내려가는 선, 즉 α < 0.
γ는 C에서 D로 갈 때입니다. f(c)=f(b)이고 f(d) > f(b)이므로 올라가는 선, 즉 γ > 0. 세 부호를 나란히 놓으면 순서가 바로 읽힙니다.
γ는 C에서 D로 갈 때입니다. f(c)=f(b)이고 f(d) > f(b)이므로 올라가는 선, 즉 γ > 0. 세 부호를 나란히 놓으면 순서가 바로 읽힙니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ① α < β < γ
풀이영상
선을 긋지 않고 — 분수의 부호만 따지기
세 평균변화율의 분모 b−a, c−b, d−c는 a<b<c<d이므로 모두 양수입니다. 그러면 부호는 분자만으로 결정됩니다.
f(b)−f(a) < 0, f(c)−f(b) = 0, f(d)−f(c) = f(d)−f(b) > 0. 따라서 α < 0 = β < γ. 그림이 없거나 그림을 믿기 애매할 때 쓰는 안전한 방법입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
구간 안에서 그래프가 오르내리는 모양에 휘둘린다
평균변화율은 양 끝 두 점만 봅니다. a와 b 사이에 봉우리가 있든 없든 α는 A와 B를 잇는 직선의 기울기 하나로 결정됩니다. -
접선의 기울기(순간변화율)로 판단한다
극대·극소점의 접선이 수평이라는 사실은 이 문제와 무관합니다. β=0인 이유는 극값이 아니라 f(b)=f(c), 즉 두 점의 높이가 같기 때문입니다. -
f(b)=f(c) 조건을 그냥 지나친다
β의 값을 확정해 주는 유일한 단서입니다. 이 조건을 놓치면 β를 음수나 양수로 짐작하게 되어 ②·④ 같은 오답으로 흘러갑니다. -
f(a) > f(d)를 α와 γ의 비교에 끌어다 쓴다
f(a)와 f(d)의 대소는 각 점의 높이일 뿐, 기울기의 크기와는 직접 관련이 없습니다. 부호가 다른 두 수의 비교에는 애초에 필요하지 않습니다. -
분모의 부호를 확인하지 않는다
a<b<c<d이므로 분모가 모두 양수라는 확인이 있어야 “분자의 부호 = 평균변화율의 부호”라고 말할 수 있습니다. 서술형이라면 이 한 줄이 근거입니다.
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