쎈미적분1 0274

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쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수

0274
대표 문제
평균변화율의 기하적 의미
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쎈 미적분1 0274번 문제

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출제의도

평균변화율은 두 점을 잇는 직선의 기울기다 — 그리고 축 대칭이 모르는 값을 아는 값으로 바꾼다

이차함수의 식 f(x)는 끝까지 주어지지 않습니다. 주어진 것은 직선 AB의 기울기(=구간 2~4의 평균변화율)와 축이 x=2라는 정보 둘뿐입니다. 축 대칭으로 f(0)=f(4)를 얻는 순간, 구하려는 0~2 구간의 평균변화율이 이미 아는 값의 부호만 뒤집은 것임이 드러납니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 기울기를 평균변화율로 번역하기
직선 AB는 그래프 위의 두 점 A(2, f(2)), B(4, f(4))를 지납니다. 그러므로 직선 AB의 기울기 = x가 2에서 4까지 변할 때의 평균변화율입니다.
이 사실을 {f(4)−f(2)} / (4−2) = 2라는 식으로 먼저 적으세요. A(2, 0)이므로 f(2)=0이라는 것도 함께 적어 둡니다.
힌트 2 — 축이 x=2라는 조건 쓰기
구하려는 것은 {f(2)−f(0)} / (2−0)인데, f(0)의 값을 모릅니다.
축이 직선 x=2인 이차함수는 축에서 같은 거리에 있는 두 점의 함숫값이 같습니다. x=0과 x=4는 축 x=2에서 각각 2만큼 떨어져 있으므로 f(0)=f(4). 이 한 줄이 문제의 다리입니다.
힌트 3 — 부호를 뒤집어 마무리
f(0)을 f(4)로 바꿔 쓰면 {f(2)−f(0)}/2 = {f(2)−f(4)}/2입니다.
여기서 분자의 순서를 뒤집으면 −{f(4)−f(2)}/2 = −{f(4)−f(2)}/(4−2)이고, 괄호 안은 힌트 1에서 2임을 이미 알고 있습니다. 남은 것은 마이너스 하나입니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

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정답 −2

쎈 미적분1 0274번 해설

풀이영상

다른 길 — 함수식을 아예 결정해 버리기

축이 x=2이고 A(2, 0)이 그래프 위의 점이므로 꼭짓점이 (2, 0), 즉 f(x)=a(x−2)²입니다.
f(4)=4a이므로 직선 AB의 기울기는 (4a−0)/(4−2)=2a=2에서 a=1. 따라서 f(x)=(x−2)²이고 f(0)=4, f(2)=0이므로 (0−4)/(2−0) = −2. 식이 완전히 결정되는 문제라 검산용으로 좋습니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 직선 AB의 기울기를 접선의 기울기로 착각한다
    두 점을 지나는 직선(할선)의 기울기는 평균변화율, 한 점에서의 접선 기울기는 순간변화율입니다. 이 문제는 처음부터 끝까지 할선 이야기이며 미분은 등장하지 않습니다.
  • 축 대칭 조건을 쓰지 않고 f(0)을 구하려 한다
    “단, 축은 직선 x=2이다”는 장식이 아니라 f(0)=f(4)를 주기 위한 유일한 근거입니다. 이 조건이 있어야 미지의 f(0)이 아는 값으로 바뀝니다.
  • 대칭점을 잘못 잡는다
    축 x=2에 대해 x=0의 대칭점은 x=4이지 x=2가 아닙니다. (0+4)/2=2가 성립하는지 항상 한 번 계산해 확인하세요.
  • 분자의 뺄셈 순서를 뒤집는다
    {f(2)−f(0)}과 {f(0)−f(2)}는 부호가 반대입니다. 평균변화율은 “나중 − 처음”을 “나중 − 처음”으로 나눈 값이라는 순서를 고정하세요. 답이 +2로 나왔다면 이 경우입니다.
  • A(2, 0)의 0을 흘려버린다
    f(2)=0이라는 정보가 함수식을 결정하는 다른 풀이에서 결정적으로 쓰입니다. 좌표로 주어진 점은 곧 함숫값 하나를 알려준 것입니다.


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