쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수 · 유형 01 평균변화율
0270
대표 문제
평균변화율
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문제를 읽자마자
출제의도
평균변화율은 정의 그대로 분수로 옮겨 적고, 분모 a−1을 약분하라는 문제
이 유형의 첫 문제입니다. 물어보는 것은 딱 하나 — Δy/Δx = {f(a)−f(1)} / (a−1)을 쓸 수 있는가. 여기서 f(1)=0이 되도록 함수를 만들어 두었기 때문에 분자가 a³−2a+1로 남고, 이 식은 a−1을 인수로 갖습니다. 약분하면 이차방정식 하나만 남습니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 식부터 세우기
평균변화율의 정의는 y의 변화량 ÷ x의 변화량입니다. x가 1에서 a까지 변했으니 분모는 a−1.
분자는 무엇을 무엇에서 빼야 할까요? 순서를 분모와 맞추세요.
분자는 무엇을 무엇에서 빼야 할까요? 순서를 분모와 맞추세요.
힌트 2 — f(1)을 먼저 계산
f(1)=1−2+1=0입니다. 그래서 분자는 그냥 a³−2a+1.
분모가 a−1이니, 분자도 a−1로 나누어떨어져야 합니다. 조립제법이나 인수정리로 묶어 보세요.
분모가 a−1이니, 분자도 a−1로 나누어떨어져야 합니다. 조립제법이나 인수정리로 묶어 보세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
a³−2a+1 = (a−1)(a²+a−1). 약분하면 평균변화율은 a²+a−1입니다.
이제 a²+a−1=11을 풀면 되는데, 답을 고르기 전에 문제에 붙은 a>1이라는 단서를 반드시 다시 보세요.
이제 a²+a−1=11을 풀면 되는데, 답을 고르기 전에 문제에 붙은 a>1이라는 단서를 반드시 다시 보세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ② a = 3
다른 길 — 분모를 넘겨서 삼차방정식으로
양변에 a−1을 곱하면 a³−2a+1 = 11(a−1), 정리하면 a³−13a+12=0.
a=1이 근이므로 (a−1)(a²+a−12)=0 → (a−1)(a+4)(a−3)=0. 여기서 a=1은 x의 값이 변하지 않는 경우라 애초에 제외되고, a>1이므로 a=3. 인수분해가 눈에 안 들어올 때 쓰는 길입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
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평균변화율을 미분계수로 착각한다
f′(x)를 구해서 대입하는 학생이 매년 나옵니다. 평균변화율은 두 점을 잇는 직선의 기울기, 미분계수는 한 점에서의 접선의 기울기입니다. 이 문제는 미분을 전혀 쓰지 않습니다. -
a>1 조건을 흘려서 a=−4를 고른다
(a+4)(a−3)=0에서 근은 두 개입니다. 조건이 붙은 문제는 방정식을 푼 순간이 아니라 조건을 확인한 순간에 끝납니다. 구한 근 옆에 조건을 적어 두고 지우세요. -
f(1) 계산에서 부호를 틀린다
f(1)=1−2+1=0입니다. 여기서 2가 나오면 이후 분자가 a−1로 나누어떨어지지 않아 문제가 통째로 막힙니다. 약분이 안 되면 f(1)부터 다시 확인하세요. -
분자와 분모의 순서를 뒤집는다
분모가 a−1이면 분자는 f(a)−f(1)입니다. f(1)−f(a)로 쓰면 부호가 뒤집혀 −11로 풀게 됩니다. 항상 “나중 − 처음”으로 통일해서 적으세요. -
약분하지 않고 삼차방정식으로 밀고 나간다
가능은 하지만 인수분해를 한 번 더 해야 합니다. 분모가 a−1인 유형은 분자에서 a−1을 먼저 뽑는 것이 정석이고 계산이 절반으로 줄어듭니다.
“쎈미적분1 0270”에 대한 1개의 생각