쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속
0236
난이도 상
사잇값 정리
실근의 개수
난이도 상
사잇값 정리
실근의 개수
문제를 읽자마자
출제의도
함숫값은 하나도 모른 채, 부호 두 개만으로 세 보기를 전부 판정하는 문제
f의 식은 끝까지 주어지지 않습니다. 주어진 정보에서 뽑아낼 수 있는 것은 f(0)<0<f(1), 그리고 여기에 딸려 오는 f(2)>f(1)>0, 이 두 줄이 전부입니다. 그다음은 각 보기의 방정식을 새 함수로 이름 붙이고 구간의 양 끝에 대입해 부호가 반대인지만 보면 됩니다. ㄷ에서 절댓값을 만나면 x의 부호로 나누고, 안쪽 식이 0과 1이 되는 지점을 찾아 구간을 쪼개는 것이 마지막 관문입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 부호부터 확정하기
보기를 보기 전에, f(0)과 f(1)의 부호를 먼저 정하세요. 실근이 (0, 1)에 딱 하나 있고 그것이 중근이 아니라는 말은, 그 점에서 f의 부호가 실제로 뒤집힌다는 뜻입니다.
따라서 f(0)과 f(1)은 부호가 반대이고, f(0)<f(1)이므로 f(0)<0<f(1). 여기에 f(1)<f(2)를 붙이면 f(2)>0도 따라옵니다.
따라서 f(0)과 f(1)은 부호가 반대이고, f(0)<f(1)이므로 f(0)<0<f(1). 여기에 f(1)<f(2)를 붙이면 f(2)>0도 따라옵니다.
힌트 2 — ㄱ, ㄴ은 이름 붙이기
ㄱ은 g(x)=f(2x), ㄴ은 h(x)=f(−x+1)로 새 함수에 이름을 붙이고 x=0, x=1만 대입하세요.
g(0)=f(0), g(1)=f(2). h(0)=f(1), h(1)=f(0). 두 경우 모두 양 끝 부호가 반대이므로 사잇값 정리로 끝납니다. ㄴ은 순서가 뒤집혀 있을 뿐 결론은 같습니다.
g(0)=f(0), g(1)=f(2). h(0)=f(1), h(1)=f(0). 두 경우 모두 양 끝 부호가 반대이므로 사잇값 정리로 끝납니다. ㄴ은 순서가 뒤집혀 있을 뿐 결론은 같습니다.
힌트 3 — ㄷ은 안쪽 식의 값이 0과 1이 되는 곳
|4x|−4x²는 x≥0에서 4x−4x², x≤0에서 −4x−4x²입니다. 각각에 대해 안쪽 식이 0이 되는 x와 1이 되는 x를 찾으세요.
x≥0: 4x−4x²=0에서 x=0, 1 / =1에서 x=1/2. 그러면 그 점들의 함숫값은 f(0)<0, f(0)<0, f(1)>0이 되어 (0, 1/2)과 (1/2, 1)에 각각 근이 하나씩.
x≤0도 −1, −1/2, 0에서 똑같은 모양이 반복됩니다. 합치면 (−1, 1)에서 적어도 4개.
x≥0: 4x−4x²=0에서 x=0, 1 / =1에서 x=1/2. 그러면 그 점들의 함숫값은 f(0)<0, f(0)<0, f(1)>0이 되어 (0, 1/2)과 (1/2, 1)에 각각 근이 하나씩.
x≤0도 −1, −1/2, 0에서 똑같은 모양이 반복됩니다. 합치면 (−1, 1)에서 적어도 4개.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
더 빠른 길 — ㄷ은 우함수 대칭으로 절반만
u(x)=|4x|−4x²는 u(−x)=|−4x|−4(−x)²=|4x|−4x²=u(x)이므로 우함수입니다. 그래프가 y축에 대칭이므로 x≥0쪽만 조사하고 개수를 2배 하면 됩니다.
x≥0에서 u는 x=0, 1에서 0, x=1/2에서 최댓값 1이므로 u의 값은 0→1→0으로 한 번 왕복합니다. f의 근 α는 0<α<1이므로 u=α인 x가 2개. 대칭까지 합쳐 총 4개입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(0)<0<f(1)을 근거 없이 가정한다
“중근이 아니다”라는 단서가 바로 이 줄의 근거입니다. 중근이었다면 부호가 바뀌지 않아 f(0)과 f(1)이 같은 부호일 수 있습니다. 서술형에서는 이 한 줄이 첫 문장이 되어야 합니다. -
ㄱ에서 f(2)의 부호를 모른다며 멈춘다
조건은 f(0)<f(1)<f(2)입니다. f(1)>0이 확정된 순간 f(2)>f(1)>0도 확정입니다. 주어진 부등식을 끝까지 쓰지 않으면 ㄱ에서 막힙니다. -
ㄴ에서 h(0)>0, h(1)<0을 보고 “부호가 반대라 안 된다”고 판단한다
사잇값 정리는 부호의 순서를 따지지 않습니다. 양 끝이 서로 다른 부호이기만 하면 됩니다. 감소 방향이어도 근은 존재합니다. -
ㄷ에서 절댓값을 벗기지 않고 계산한다
|4x|는 x≥0과 x≤0에서 다른 식입니다. 나누지 않으면 −4x−4x² 쪽을 통째로 놓쳐 근이 2개라고 답하게 됩니다. -
안쪽 식의 최댓값이 1이라는 점을 놓친다
4x−4x²=1은 (2x−1)²=0, 즉 x=1/2에서 접합니다. 이 점이 f(1)>0을 만들어 주는 유일한 지점이라 구간이 둘로 쪼개집니다. 이 값을 놓치면 근을 절반만 세게 됩니다. -
“적어도 네 개”를 “정확히 네 개”로 읽는다
f가 어떤 다항함수인지는 끝까지 모릅니다. 개수를 확정할 수는 없고, 존재만 보장하면 참입니다. 보기의 서술을 그대로 읽는 습관이 필요합니다.
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