쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속
0228
난이도 상
교점의 개수와 곱함수의 연속
서술형
난이도 상
교점의 개수와 곱함수의 연속
서술형
문제를 읽자마자
출제의도
f(t)를 그래프로 먼저 만들고, 그 계단이 튀는 자리에서 g를 0으로 만들어라
f(t)는 식이 아니라 “가로줄 y=t를 훑으며 센 교점의 개수”입니다. 그러니 유리함수에 절댓값을 씌운 그래프를 정확히 그려서 f(t)를 구간별로 적고, y=f(t)의 그래프를 다시 그리는 것이 1차 관문입니다. 그다음은 앞 문항과 같은 논리 — f가 점프하는 t=−4, t=2에서 g의 값이 0이어야 f(x)g(x)가 연속입니다. g(x)=|x−a|+b가 두 점에서 0이라는 조건이 a, b를 한 번에 결정합니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 그래프부터 만들기
6x/(x−1)을 그대로 그리려 하지 마세요. 6x/(x−1) = 6/(x−1) + 6으로 고치면 점근선이 x=1, y=6인 익숙한 유리함수입니다.
여기에 ① 절댓값을 씌워 x축 아래 부분을 위로 접고, ② −4만큼 아래로 평행이동합니다. 접힌 뒤 점근선은 y=6, 내려간 뒤에는 y=2가 됩니다.
여기에 ① 절댓값을 씌워 x축 아래 부분을 위로 접고, ② −4만큼 아래로 평행이동합니다. 접힌 뒤 점근선은 y=6, 내려간 뒤에는 y=2가 됩니다.
힌트 2 — 가로줄을 아래에서 위로 훑기
그래프에서 y값이 가장 낮은 곳은 x=0에서의 −4이고, 왼쪽 가지는 y=2에 닿지 못한 채 다가갑니다. 교점의 개수가 바뀌는 t는 이 두 값뿐입니다.
t<−4 : 0개 / t=−4 : 1개 / −4<t<2 : 2개 / t=2 : 1개 / t>2 : 2개.
t=2에서 개수가 잠깐 줄어드는 이유를 점근선으로 설명할 수 있어야 합니다.
t<−4 : 0개 / t=−4 : 1개 / −4<t<2 : 2개 / t=2 : 1개 / t>2 : 2개.
t=2에서 개수가 잠깐 줄어드는 이유를 점근선으로 설명할 수 있어야 합니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
y=f(t)는 t=−4와 t=2에서만 불연속입니다. g는 모든 실수에서 연속이므로 f(x)g(x)가 연속이려면 g(−4)=0, g(2)=0.
g(x)=|x−a|+b의 그래프는 x=a를 축으로 하는 V자입니다. x축과 만나는 두 점이 −4와 2라면 a는 두 수의 중점, |b|는 중점에서 두 점까지의 거리입니다. 그리고 답은 g(a·b)이지 a, b가 아닙니다.
g(x)=|x−a|+b의 그래프는 x=a를 축으로 하는 V자입니다. x축과 만나는 두 점이 −4와 2라면 a는 두 수의 중점, |b|는 중점에서 두 점까지의 거리입니다. 그리고 답은 g(a·b)이지 a, b가 아닙니다.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 1 g(ab) = 1
더 빠른 길 — V자의 두 근으로 a, b 잡기
g(x)=|x−a|+b=0에서 |x−a|=−b이므로 근은 x=a+(−b), a−(−b). 두 근이 −4와 2라면 축 a는 두 근의 중점 a=−1, 근 사이 거리의 절반이 −b이므로 −b=3, 즉 b=−3.
따라서 g(x)=|x+1|−3, ab=(−1)(−3)=3이고 g(3)=|3+1|−3=1. 연립방정식 없이 그래프만 보고 끝납니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
절댓값을 씌운 그래프를 다시 그리지 않는다
원래 유리함수 위에서 교점을 세면 개수가 전부 틀립니다. 6/(x−1)+6을 그린 뒤 x축 아래를 접고, 그다음 −4만큼 내린 그래프를 새로 그려 놓고 세세요. -
t=2에서의 불연속을 놓친다
접고 내린 뒤 왼쪽 가지의 수평점근선이 y=2입니다. 왼쪽 가지는 2에 닿지 못하므로 t=2일 때만 교점이 1개입니다. 이 자리를 못 보면 g(2)=0 조건이 통째로 빠집니다. -
t=−4에서 f(t)=2로 센다
−4는 그래프가 x축과 접하듯 만나는 최솟값 지점(x=0) 하나뿐이라 f(−4)=1입니다. 최솟값에서는 교점이 하나라는 점을 표시해 두세요. -
a를 −4나 2로 잡는다
−4와 2는 g의 근이지 V자의 꼭짓점이 아닙니다. a는 두 근의 중점 −1입니다. 근과 축을 구분하세요. -
b의 부호를 뒤집는다
|x−a|+b=0이려면 |x−a|=−b이므로 b는 음수여야 합니다. b=3으로 적으면 g(x)=|x+1|+3이 되어 근이 아예 없습니다. 구한 b를 원식에 넣어 g(−4)=0인지 반드시 검산하세요. -
a, b까지 구하고 멈춘다
문제가 요구한 것은 g(ab)입니다. ab=3을 먼저 적고, g(3)=|3+1|−3=1까지 써야 답안이 완성됩니다.
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