쎈미적분1 0227

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쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속

0227
난이도 상
곱함수의 연속
서술형

쎈 미적분1 0227번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

f가 끊기는 자리에서 g를 0으로 만들어라 — 그것이 조건 (나)의 전부

다항함수 g(x)는 어디서나 연속입니다. 그래서 f(x)g(x)가 끊길 수 있는 곳은 오직 f가 끊기는 x=−1, x=1 두 점뿐입니다. 그 두 점에서 좌극한과 우극한을 맞추면 g(−1)=0, g(1)=0이 나오고, 조건 (가)가 차수와 최고차항의 계수를 정해 줍니다. 그래프에서 불연속점을 찾는 문제와 다항함수를 결정하는 문제를 하나로 붙여 놓은 형태입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 조건 (가)부터 읽기
x→∞에서 g(x)/(x²+x+1)의 극한이 0이 아닌 값 2로 존재합니다. 분모가 2차이므로 g(x)도 2차식이고, 분모의 최고차항 계수가 1이므로 극한값 2가 곧 g(x)의 최고차항 계수입니다.
즉 g(x)=2x²+bx+c. 남은 미지수 b, c는 조건 (나)로 잡습니다.
힌트 2 — f의 그래프에서 끊기는 자리 표시하기
그래프의 뚫린 점을 찾으세요. f는 x=−1과 x=1에서만 불연속입니다.
g는 다항함수라 모든 실수에서 연속이므로, f(x)g(x)는 이 두 점을 제외한 모든 곳에서 이미 연속입니다. 조건 (나)가 실제로 요구하는 것은 이 두 점에서의 연속뿐입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
x=−1에서 f의 좌극한은 1, 우극한은 −1입니다. 그러므로
좌극한 g(−1) = 우극한 −g(−1) ⟹ g(−1)=0.
x=1에서도 같은 방식으로 g(1)=0. 두 값이 모두 0인 2차식이라면 g(x)는 x+1과 x−1을 인수로 갖습니다. 최고차항 계수가 2라는 것까지 붙여 쓰세요.

다 풀고 나서

해설

정답·해설 펼치기

정답 30  g(4) = 30

쎈 미적분1 0227번 해설

더 빠른 길 — 점프의 크기를 기준으로 보기

x=a에서 f의 좌극한과 우극한이 다르면(점프가 있으면), f(x)g(x)가 x=a에서 연속일 조건은 언제나 g(a)=0 하나로 정리됩니다. {우극한−좌극한}×g(a)=0이기 때문입니다.
이 문제는 점프가 x=−1, x=1 두 곳이므로 g(−1)=g(1)=0, 곧 g(x)=k(x+1)(x−1). 여기에 (가)에서 k=2를 넣으면 g(x)=2(x+1)(x−1)이고 g(4)=2·5·3=30. 극한 계산을 따로 쓰지 않아도 됩니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 조건 (가)를 “g는 2차식”까지만 읽는다
    분모 x²+x+1의 최고차항 계수가 1이므로, 극한값 2가 그대로 g의 최고차항 계수입니다. 계수를 미지수로 두고 끌고 가면 마지막에 결정할 방정식이 모자랍니다.
  • 불연속점을 한 곳만 찾는다
    그래프의 뚫린 점은 x=−1과 x=1, 두 곳입니다. 하나만 처리하면 g의 인수도 하나만 나와 g(4) 값이 통째로 달라집니다. 그래프에 뚫린 점을 먼저 동그라미로 표시하고 시작하세요.
  • 좌·우극한과 함숫값을 섞어 쓴다
    x→−1⁻일 때 f→1, x→−1⁺일 때 f→−1, 그리고 f(−1)=−1입니다. 세 값이 모두 다릅니다. 극한을 계산할 때 속이 찬 점(함숫값)을 끌어다 쓰면 식이 어긋납니다.
  • “다항함수 g는 모든 실수에서 연속”을 안 쓴다
    서술형에서는 이 한 줄이 lim g(x)=g(−1)로 바꿔 쓰는 근거입니다. 근거 없이 바로 g(−1)을 대입하면 논리 전개 점수가 깎입니다.
  • g(−1)=g(1)=0을 연립방정식으로 푼다
    2x²+bx+c에 두 값을 대입해 b, c를 구해도 답은 같지만 시간이 두 배로 듭니다. 두 값이 0이면 인수 x+1, x−1이 보이도록 g(x)=2(x+1)(x−1)로 곧장 쓰세요.
  • g(4) 대입에서 부호·곱셈을 흘린다
    g(4)=2·(4+1)·(4−1)=2·5·3=30. 2를 빠뜨려 15로 적는 답안이 가장 많습니다. 최고차항 계수를 마지막까지 붙여 두세요.


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