쎈미적분1 0226

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쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속

0226
난이도 상
주기함수의 곱과 불연속점
유형 01 + 유형 04

쎈 미적분1 0226번 문제

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출제의도

불연속점을 겹치는지 안 겹치는지로 분류하고, 겹치지 않는 자리는 상대 인자가 0인지만 보는 문제

주기가 3인 f(x)는 x=1, 4, 7, …에서만 끊깁니다. f(x−k)는 그 자리를 k만큼 오른쪽으로 옮긴 것이고, k=1, 2일 때는 두 불연속점이 서로 겹치지 않습니다. 그러면 한쪽이 끊기는 자리에서 다른 쪽 함숫값이 0이면 곱은 살아남고, 0이 아니면 끊깁니다. 마지막으로 g(x)=g(x+3)이라는 주기성으로 0≤x≤100 구간의 개수를 세면 됩니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 그래프부터 한 주기만 그리기
0≤x<3에서 y=2x와 y=x²−4x+3을 이어 그리고, 그 모양을 좌우로 3씩 복사하세요.
x=1에서 좌극한은 2, 함숫값과 우극한은 0입니다. 반면 x=3에서는 좌극한도 0, 함숫값 f(3)=f(0)=0이라 끊기지 않습니다. f가 끊기는 곳은 x=1, 4, 7, … 뿐입니다.
힌트 2 — 두 불연속점이 겹치는가
f(x)는 x≡1(mod 3)에서, f(x−k)는 x≡k+1(mod 3)에서 끊깁니다.
k=1이면 1과 2, k=2이면 1과 0, k=3이면 1과 1. 앞의 두 경우는 자리가 갈리고, k=3은 완전히 포개집니다. k=3일 때 g(x)는 어떤 식이 되나요?
힌트 3 — 살아남는 자리와 끊기는 자리
한쪽만 끊기는 자리에서는 상대 인자의 값이 결정합니다. f(0)=0, f(3)=0이므로 상대가 0인 자리는 연속, f(2)=−1처럼 0이 아닌 자리는 불연속입니다.
개수는 주기 3으로 세되 끝을 조심하세요. 0≤x≤100에서 x≡2는 2부터 98까지 33개, x≡1은 1부터 100까지 34개입니다.

다 풀고 나서

해설

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정답 101

쎈 미적분1 0226번 해설 1
쎈 미적분1 0226번 해설 2

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f의 불연속점은 x≡1, f(x−k)의 불연속점은 x≡k+1 (mod 3).
k=1: x≡1에서는 상대가 f(0)=0이라 연속, x≡2에서는 상대가 f(2)=−1이라 불연속 → 2, 5, …, 98로 a₁=33.
k=2: x≡1에서는 상대가 f(−1)=f(2)=−1이라 불연속, x≡0에서는 상대가 f(0)=0이라 연속 → 1, 4, …, 100으로 a₂=34.
k=3: g(x)={f(x)}²이라 x≡1에서 좌극한 4, 우극한 0 → 1, 4, …, 100으로 a₃=34.
따라서 33+34+34=101.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • x=3에서도 끊긴다고 본다
    식이 바뀌는 자리와 끊기는 자리는 다릅니다. x=3에서는 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 0이라 연속입니다. f가 끊기는 곳은 x=1, 4, 7, …뿐이라는 점이 이 문제의 출발점입니다.
  • “한 인자가 불연속이면 곱도 불연속”이라고 단정한다
    상대 인자의 값이 0이면 점프가 0으로 눌려 곱은 연속이 됩니다. k=1의 x=1, k=2의 x=3이 정확히 그 경우입니다. 반드시 상대 인자의 값을 계산해 보고 판정하세요.
  • f(x−k)의 불연속점을 왼쪽으로 옮긴다
    x−k=1일 때이므로 x=k+1, 즉 오른쪽으로 k만큼 이동합니다. 이동 방향이 반대면 k=1과 k=2의 결과가 통째로 뒤바뀝니다.
  • 0≤x≤100의 양 끝을 대충 센다
    x≡2는 98에서 멈춰 33개, x≡1은 100이 포함되어 34개입니다. a₁과 a₂가 1 차이로 갈리는 지점이 바로 여기입니다. 첫 항과 끝 항을 적어 두고 (끝−첫)÷3+1로 계산하세요.
  • k=3을 앞의 두 경우와 같은 방식으로 처리한다
    f(x)=f(x−3)이므로 g(x)={f(x)}²입니다. 두 인자가 같은 자리에서 동시에 끊겨 좌극한 2²=4, 우극한 0²=0으로 갈립니다. 이때는 “상대가 0인가”가 아니라 제곱의 좌우극한을 직접 비교해야 합니다.
  • a₁, a₂, a₃ 중 하나만 구하고 답으로 적는다
    구하는 것은 세 값의 합입니다. 33, 34, 34를 각각 적어 두고 더하세요.


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