쎈미적분1 0225

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쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속

0225
난이도 상
두 함수의 곱의 연속
유형 01 + 유형 04

쎈 미적분1 0225번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

f(x−a)는 x=a에서 반드시 끊긴다 — 그 끊김을 0으로 눌러 없애는 a를 찾는 문제

f(x)는 x=0에서 좌극한 1, 우극한 6으로 점프합니다. f(x−a)는 그 점프를 그대로 x=a로 옮겨 놓은 함수입니다. 즉 x=a에서 곱의 한쪽 인자는 무조건 불연속입니다. 그런데도 곱이 연속이 되려면 다른 인자 f(x)가 x=a에서 연속이면서 값이 0이어야 합니다. 여기에 두 인자가 동시에 끊기는 a=0만 따로 조사하면 끝입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 끊기는 자리부터 표시하기
f(x)가 끊기는 곳은 x=0 한 곳뿐입니다. 그렇다면 f(x−a)가 끊기는 곳은 어디일까요?
x−a≤0 ⟺ x≤a이므로 f(x−a)의 분기점은 x=a로 통째로 평행이동합니다. 문제가 하필 x=a에서의 연속을 묻는 이유가 여기 있습니다.
힌트 2 — a≠0이면 f(x)는 손대지 않아도 된다
a>0이면 x=a 근처에서 f(x)는 −⅓x+6 하나로 이어지고, a<0이면 x+1 하나로 이어집니다. 즉 f(x) 쪽은 x=a에서 연속이라 좌·우 어느 쪽에서 오든 f(a)로 같습니다.
그러면 좌극한과 우극한의 차이는 f(x−a)의 1과 6뿐입니다. f(a)·6 = f(a)·1을 만들려면 f(a)는 무엇이어야 할까요?
힌트 3 — 빠뜨리기 쉬운 한 경우
a>0에서 −⅓a+6=0, a<0에서 a+1=0을 각각 푸세요. 조건(a의 부호)에 맞는지 반드시 확인합니다.
그리고 a=0은 위 논리가 통하지 않습니다. 이때 f(x)f(x−a)={f(x)}²이 되어 두 인자가 x=0에서 동시에 끊깁니다. 우극한 6², 좌극한 1²을 직접 비교해 보세요.

다 풀고 나서

해설

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정답 17

쎈 미적분1 0225번 해설 1
쎈 미적분1 0225번 해설 2

더 빠른 길 — “끊긴 인자 × 0 = 연속”

x=a에서 f(x−a)는 좌극한 1, 우극한 6으로 점프합니다. a≠0이면 f(x)는 x=a에서 연속이므로, 곱의 좌·우극한은 각각 f(a)·1과 f(a)·6. 두 값이 같으려면 f(a)=0뿐입니다.
a+1=0 → a=−1 (a<0 ✔), −⅓a+6=0 → a=18 (a>0 ✔). a=0은 {f(x)}²의 좌우극한이 1과 36으로 달라 제외. 따라서 −1+18=17.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • a=0인 경우를 아예 조사하지 않는다
    a>0, a<0 두 경우만 나누면 실수 전체를 덮지 못합니다. 결과적으로 a=0은 답이 아니지만, “제외된다”는 조사 자체가 답안의 한 줄입니다. 서술형에서 이 줄이 없으면 감점입니다.
  • f(x−a)의 분기 조건을 그대로 x≤0으로 쓴다
    x−a≤0은 x≤a입니다. 조건식의 문자를 바꾸는 순간 부등호 기준도 함께 a만큼 이동합니다. f(x−a)를 x에 대한 조각함수로 다시 써 놓고 시작하세요.
  • a의 부호와 f(a)의 식을 짝 맞추지 않는다
    a>0이면 f(a)=−⅓a+6, a<0이면 f(a)=a+1입니다. 여기서 식을 바꿔 쓰면 a=18 대신 엉뚱한 값이 나옵니다. 구한 a가 가정한 부호 조건을 만족하는지 마지막에 되짚으세요.
  • 좌극한=우극한만 확인하고 끝낸다
    연속의 정의는 세 가지가 모두 같아야 합니다. 좌극한, 우극한, 그리고 함숫값 f(a)f(0). 이 문제에서 f(0)=1이라는 사실이 함숫값 계산에 그대로 쓰입니다.
  • a를 하나만 구하고 답으로 적는다
    문제가 요구한 것은 “모든 실수 a의 값의 합”입니다. −1과 18을 따로 적어 두고 더하세요.


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