쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속
0224
난이도 상
32쪽 유형 03
합성함수의 연속
서술형
난이도 상
32쪽 유형 03
합성함수의 연속
서술형
문제를 읽자마자
출제의도
f가 튀는 자리가 아니라, f(f(x))의 값이 실제로 바뀌는 자리를 찾으라는 문제
f(x)는 √x보다 크지 않은 최대의 정수, 즉 0≤x<100에서 제곱수 1, 4, 9, …, 81마다 한 칸씩 올라가는 계단함수입니다. 안쪽 f가 튀는 자리는 아홉 군데지만, 그중 바깥 f까지 값을 바꾸는 자리는 몇 개뿐입니다. 안쪽·바깥을 분리해서 보는 것이 이 문제의 전부입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 안쪽 함수부터 그리기
f(x)=k가 되는 x의 범위는 k²≤x<(k+1)²입니다. 그래서 0≤x<100에서 y=f(x)의 그래프는 x=1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81에서 한 칸씩 올라가는 계단이고, f의 값은 0부터 9까지만 나옵니다.
힌트 2 — 바깥 함수로 거르기
f(x)=k로 두면 k는 0 이상 9 이하의 정수뿐입니다. 그런데 바깥의 f(k)가 불연속인 k는 제곱수, 즉 k=1, 4, 9 세 개뿐입니다.
k=2, 3, 5, 6, 7, 8은 안쪽에서 값이 튀어도 바깥 f의 값이 그대로라 f(f(x))는 이어집니다. 이제 볼 자리가 아홉 개에서 세 개로 줄었습니다.
k=2, 3, 5, 6, 7, 8은 안쪽에서 값이 튀어도 바깥 f의 값이 그대로라 f(f(x))는 이어집니다. 이제 볼 자리가 아홉 개에서 세 개로 줄었습니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f(x)=1이 되는 범위는 1≤x<4입니다. 이 구간의 왼쪽 끝 x=1에서 좌극한과 우극한을 비교하면 f(f(x))가 0과 1로 갈립니다. 구간 내부에서는 값이 1로 일정하므로 연속입니다.
같은 방식으로 f(x)=4는 16≤x<25, f(x)=9는 81≤x<100. 각 구간의 왼쪽 끝만 답이 됩니다. 그리고 문제가 요구한 것은 a의 값이 아니라 모든 a의 합입니다.
같은 방식으로 f(x)=4는 16≤x<25, f(x)=9는 81≤x<100. 각 구간의 왼쪽 끝만 답이 됩니다. 그리고 문제가 요구한 것은 a의 값이 아니라 모든 a의 합입니다.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 98 (a = 1, 16, 81)
더 빠른 길 — f(f(x))를 통째로 나열하기
0≤x<1이면 f(f(x))=0, 1≤x<16이면 1, 16≤x<81이면 2, 81≤x<100이면 3.
구간을 이렇게 네 덩어리로 묶어 버리면 값이 바뀌는 자리가 x=1, 16, 81임이 한눈에 보입니다. 4, 9, 25, 36, 49, 64는 안쪽 f만 올라갈 뿐 f(f(x)) 값은 그대로라 자동으로 걸러집니다. 합은 1+16+81=98.
서술형 채점 기준
❶ f(x)=k로 놓고 f(k)가 불연속이 되는 k를 구한다 — 30%
❷ 각 k에 대응하는 a의 값을 구한다 — 60%
❸ 모든 a의 값의 합을 구한다 — 10%
배점의 60%가 ❷에 몰려 있습니다. “k=1, 4, 9″까지만 쓰고 x로 되돌리는 과정을 생략하면 절반 이상을 잃습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f의 불연속점을 그대로 답으로 쓴다
f(x)가 불연속인 x는 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81의 아홉 개지만, f(f(x))가 불연속인 x는 1, 16, 81의 세 개뿐입니다. 안쪽이 튀어도 바깥 값이 같으면 합성함수는 연속입니다. -
k를 구해 놓고 x로 되돌리지 않는다
k=1, 4, 9는 f의 값이지 x의 값이 아닙니다. f(x)=k가 되는 구간의 왼쪽 끝, 즉 k²을 잡아야 x=1, 16, 81이 나옵니다. 배점 60%가 걸린 단계입니다. -
구간의 오른쪽 끝을 답에 넣는다
1≤x<4에서 x=4는 이미 다음 구간의 왼쪽 끝입니다. f(f(x))는 각 구간의 왼쪽 끝에서만 값이 갈라지므로, 부등호가 ≤인 쪽 끝만 후보입니다. -
x=0을 불연속점으로 센다
0≤x<1에서 f(f(x))=0이고 x=0은 정의역의 왼쪽 끝입니다. 우극한과 함숫값이 같으므로 불연속이 아닙니다. -
a의 값만 나열하고 끝낸다
문제가 요구한 것은 모든 a의 값의 합입니다. 1, 16, 81을 적은 뒤 반드시 1+16+81=98까지 쓰세요. 서술형에서 이 한 줄이 배점 10%입니다. -
좌·우극한 비교 근거를 쓰지 않는다
서술형은 “x=1에서 불연속”이라는 결론이 아니라 limx→1+ f(f(x))=1, limx→1− f(f(x))=0이라는 비교 과정에 점수가 붙습니다. 세 자리 모두 같은 형식으로 적으세요.
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