쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속
0223
난이도 상
30쪽 유형 01+02
불연속점의 판정
난이도 상
30쪽 유형 01+02
불연속점의 판정
문제를 읽자마자
출제의도
부등식을 푸는 문제가 아니라, f(a)의 그래프를 그리는 문제
연립부등식은 도입일 뿐입니다. a의 값에 따라 정수해가 몇 개인지 세면 f(a)는 계단 모양 함수가 되고, ㄱ·ㄴ·ㄷ은 전부 그 계단 그래프 하나만 보면 판정됩니다. 그래프를 그리기 전에 보기부터 따지면 반드시 꼬입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 후보부터 확보하기
첫 번째 부등식은 a와 무관합니다. x²+x−6<0에서 (x+3)(x−2)<0이므로 −3<x<2.
이 안에 들어가는 정수는 −2, −1, 0, 1 네 개뿐입니다. 앞으로 셀 대상은 이 네 개가 전부입니다.
이 안에 들어가는 정수는 −2, −1, 0, 1 네 개뿐입니다. 앞으로 셀 대상은 이 네 개가 전부입니다.
힌트 2 — a로 구간 나누기
두 번째 부등식은 x²−(a−1)x−a≤0 ⟹ (x+1)(x−a)≤0입니다. 해는 −1과 a 중 어느 쪽이 큰지에 따라 a≤x≤−1 또는 −1≤x≤a로 갈립니다.
후보 네 개가 들어갔다 나갔다 하는 순간은 a=−2, a=0, a=1입니다. 이 세 지점을 경계로 f(a)를 세어 보세요.
후보 네 개가 들어갔다 나갔다 하는 순간은 a=−2, a=0, a=1입니다. 이 세 지점을 경계로 f(a)를 세어 보세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f(a)=2 (a≤−2), 1 (−2<a<0), 2 (0≤a<1), 3 (a≥1) 이 나왔나요? 이제 계단 그래프를 그립니다.
ㄷ이 묻는 것은 좌극한이 아니라 우극한입니다. 불연속점 −2, 0, 1 각각에서 lima→k+ f(a)와 f(k)를 하나씩 비교하세요. 세 곳 중 몇 곳이 다른가요?
ㄷ이 묻는 것은 좌극한이 아니라 우극한입니다. 불연속점 −2, 0, 1 각각에서 lima→k+ f(a)와 f(k)를 하나씩 비교하세요. 세 곳 중 몇 곳이 다른가요?
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 ① 옳은 것은 ㄱ뿐
ㄷ을 빠르게 처리하는 법
lima→k+ f(a)≠f(k)라는 조건은 곧 “x=k에서 불연속”을 포함합니다. 즉 연속인 점은 아예 볼 필요가 없습니다. 불연속점 −2, 0, 1 세 곳만 확인하면 되고, 그중 우극한이 함숫값과 다른 곳은 a=−2 한 곳뿐이므로 원소의 개수는 1입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
(x+1)(x−a)≤0의 해를 −1≤x≤a로만 쓴다
a<−1이면 두 근의 대소가 뒤집혀 a≤x≤−1이 됩니다. 인수분해된 이차부등식에서 문자 근이 나오면 “어느 쪽이 큰가”를 먼저 나누는 것이 기본 반응이어야 합니다. -
−3, 2를 정수 후보에 넣는다
첫 번째 부등식은 등호가 없는 <입니다. 후보는 −2, −1, 0, 1 네 개뿐입니다. 두 번째 부등식만 ≤라는 점도 함께 기억하세요. -
a=0, a=1 같은 경계값을 어느 구간에 넣을지 대충 정한다
두 번째 부등식이 ≤이므로 x=a도 해에 포함됩니다. 그래서 a=0에서 x=0이, a=1에서 x=1이 곧바로 개수에 잡힙니다. 경계에서 f값이 위쪽인지 아래쪽인지가 ㄷ의 정답을 통째로 바꿉니다. -
ㄷ에서 좌극한까지 확인한다
물은 것은 우극한 하나입니다. a=0은 좌극한이 달라 불연속이지만 우극한은 f(0)=2와 같으므로 집합의 원소가 아닙니다. a=1도 마찬가지입니다. -
ㄴ의 대칭을 눈대중으로 판단한다
f값이 2 → 1 → 2 → 3으로 이어져 오른쪽 끝이 3에서 멈춥니다. 어떤 직선 a=m을 잡아도 좌우 모양이 같아질 수 없으므로 그런 m은 존재하지 않습니다.
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