쎈미적분1 0222

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쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속

0222
난이도 상
합성·곱으로 만든 함수의 연속
평가원 기출

쎈 미적분1 0222번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

그래프에서 좌극한 · 우극한 · 함숫값 세 개를 따로 읽어내라는 문제

g와 h가 새로 정의되어 있지만, 결국 재료는 x=0에서의 세 값뿐입니다. 좌극한 −1, 우극한 0, 함숫값 1/2. 이 세 개를 종이 구석에 먼저 적어 두면 ㄱ·ㄴ·ㄷ은 모두 그 조합을 계산하는 일이 됩니다. 특히 ㄷ은 “두 함수가 불연속이면 곱도 불연속”이라는 착각을 겨냥한 문항입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 세 값부터 적어라
그래프에서 x=0 근처의 정보를 숫자로 옮겨 적으세요. 속이 빈 점은 값이 아니고, 채워진 점이 함숫값입니다.
좌극한 −1, 우극한 0, f(0)=1/2. 이 셋이 다르다는 것이 이 문제 전체의 재료입니다.
힌트 2 — f(−x)는 좌우가 뒤집힌다
ㄴ의 h(x)=f(x)+f(−x)에서 f(−x) 부분이 함정입니다. −x=t로 놓으면 x→0−일 때 t→0+가 됩니다.
즉 h의 좌극한을 구할 때 f(−x)에는 f의 우극한을 넣어야 합니다. 좌·우 각각 계산해 보면 두 값이 같아집니다.
힌트 3 — ㄷ은 규칙이 아니라 정의로
g와 |h|가 각각 x=0에서 연속인지 따져서 곱의 연속성을 판정하려 하지 마세요. 그런 규칙은 없습니다.
연속의 정의 그대로, lim g(x)|h(x)|와 g(0)|h(0)|를 각각 구해서 비교하세요. 극한은 ㄱ과 ㄴ에서 이미 구해 둔 값의 곱이고, 함숫값은 f(0)=1/2에서 바로 나옵니다.

다 풀고 나서

해설

정답·해설 펼치기

정답 ③  ㄱ, ㄴ

쎈 미적분1 0222번 해설 1
쎈 미적분1 0222번 해설 2

다른 풀이 — 식으로 바꿔서 그래프를 그린다

f(x)는 −1≤x<0에서 −x−1, x=0에서 1/2, 0<x≤1에서 x/2입니다.
이를 대입하면 g(x)는 −1≤x<0에서 0, x=0에서 1, 0<x≤1에서 x이고,
h(x)는 −1≤x<0에서 −(3/2)x−1, x=0에서 1, 0<x≤1에서 (3/2)x−1입니다.
세 그래프 y=g(x), y=h(x), y=|h(x)|를 그려 놓으면 ㄱ·ㄴ·ㄷ이 눈으로 읽힙니다. 보기 문항이 세 개 이상일 때는 이 방법이 오히려 빠릅니다.

결론 한 줄

ㄱ 참 (좌·우 모두 0) / ㄴ 참 (lim|h|=1=|h(0)|) / ㄷ 거짓 (극한 0 ≠ 함숫값 1)

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • f(0)=0으로 읽는다
    원점의 속 빈 점은 “그 값이 아니다”라는 표시입니다. 채워진 점이 (0, 1/2)이므로 f(0)=1/2입니다. 이 한 글자를 잘못 읽으면 ㄴ과 ㄷ이 동시에 무너집니다.
  • f(−x)의 극한에서 좌우를 그대로 둔다
    x→0−이면 −x→0+입니다. 부호를 바꾸면 접근 방향도 반대가 됩니다. −x=t로 치환해서 “x→0−일 때 t→0+”라고 한 줄 적고 넘어가는 습관을 들이세요.
  • 극한이 존재하지 않는데 값을 붙인다
    g는 좌극한과 우극한이 모두 0이므로 극한이 존재합니다. 하지만 f 자체는 x=0에서 극한이 없습니다. 어떤 함수의 극한을 묻고 있는지 매번 확인하세요.
  • lim|h(x)|를 −1로 쓴다
    h의 극한이 −1이어도 |h|의 극한은 |−1|=1입니다. 절댓값은 극한 안팎으로 자유롭게 드나들 수 있지만, 부호는 반드시 정리하고 지나가야 합니다.
  • ㄷ에서 “둘 다 불연속이니 곱도 불연속”으로 처리한다
    불연속끼리의 곱이 연속이 되는 경우도 있습니다. 판정은 언제나 정의로 합니다. lim g(x)|h(x)|=0·1=0, g(0)|h(0)|=1·1=1이므로 두 값이 달라 불연속입니다. 결과는 같아도 근거가 다르면 서술형에서 점수가 없습니다.
  • 보기 세 개를 모두 검토하지 않고 답을 고른다
    ㄱ과 ㄴ이 참이라고 확인한 순간 ③과 ⑤가 남습니다. 갈림길은 오직 ㄷ이므로, 시간이 없어도 ㄷ만은 끝까지 계산해야 합니다.


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