쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속
0221
난이도 상
교점의 개수와 불연속
서술형
난이도 상
교점의 개수와 불연속
서술형
문제를 읽자마자
출제의도
f(r)의 식을 만들지 말고, 교점 개수가 바뀌는 순간만 찾아내라는 문제
f(r)은 교점의 개수이므로 정수값만 갖는 계단 모양 함수입니다. 이런 함수는 값이 바뀌는 지점이 곧 불연속점입니다. 그래서 물어야 할 것은 하나뿐입니다 — 원점 중심의 원을 0부터 키워 나갈 때, 교점 개수가 달라지는 r은 어디인가. 마름모의 각 변에 접하는 순간과 각 꼭짓점을 지나는 순간, 이 두 종류가 후보의 전부입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 그림부터 정확히
|x−2|+|y|=4의 그래프는 중심이 (2, 0)인 마름모입니다. 원점이 중심이 아니라는 점이 이 문제의 출발점입니다.
꼭짓점 네 개의 좌표를 먼저 적으세요. x=2일 때 |y|=4, y=0일 때 |x−2|=4입니다.
꼭짓점 네 개의 좌표를 먼저 적으세요. x=2일 때 |y|=4, y=0일 때 |x−2|=4입니다.
힌트 2 — 무엇을 재야 하는가
반지름 r를 0에서부터 키운다고 상상하세요. 교점 개수가 바뀌는 사건은 두 가지뿐입니다. 원이 어떤 변에 접할 때, 그리고 원이 어떤 꼭짓점을 지날 때입니다.
그러니 구할 값도 두 종류입니다. 원점에서 각 변까지의 거리, 원점에서 각 꼭짓점까지의 거리.
변 AB는 x−y+2=0, 변 AD는 x+y−6=0입니다. 대칭이므로 아래쪽 두 변은 같은 값이 나옵니다.
그러니 구할 값도 두 종류입니다. 원점에서 각 변까지의 거리, 원점에서 각 꼭짓점까지의 거리.
변 AB는 x−y+2=0, 변 AD는 x+y−6=0입니다. 대칭이므로 아래쪽 두 변은 같은 값이 나옵니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
후보 r를 크기순으로 늘어놓고, 각 구간에서 f(r)이 몇인지 하나씩 세세요. 값이 앞뒤로 달라지는 r만 골라내면 그것이 a₁, a₂, …, aₙ입니다.
정렬할 때 3√2와 2√5의 크기 비교를 반드시 제곱으로 확인하세요(18과 20). 여기서 순서가 뒤집히면 a₃가 통째로 달라집니다.
그리고 문제가 물은 것은 a₃가 아니라 a₃²+n²입니다.
정렬할 때 3√2와 2√5의 크기 비교를 반드시 제곱으로 확인하세요(18과 20). 여기서 순서가 뒤집히면 a₃가 통째로 달라집니다.
그리고 문제가 물은 것은 a₃가 아니라 a₃²+n²입니다.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 43
한눈에 보는 뼈대
원점에서 변까지의 거리는 √2와 3√2, 꼭짓점까지의 거리는 OB=2, OA=OC=2√5, OD=6입니다.
f(r)은 0 → 2 → 4 → 3 → 2 → 4 → 6 → 4 → 2 → 1 → 0 순으로 바뀌고, 불연속인 r는 √2, 2, 3√2, 2√5, 6의 다섯 개입니다.
따라서 n=5, a₃=3√2이고 a₃²+n²=18+25=43.
서술형 채점 기준
① 원점과 두 직선 AB, AD 사이의 거리, 그리고 OB·OC·OD의 길이를 구한다 — 20%
② r의 범위에 따른 f(r)의 값을 모두 구한다 — 40%
③ a₃와 n의 값을 구한다 — 30%
④ a₃²+n²을 계산한다 — 10%
배점이 ②에 몰려 있습니다. 구간을 빠뜨리지 않고 나열하는 것이 곧 점수입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
마름모의 중심을 원점으로 그린다
|x−2|는 x축 방향으로 2만큼 평행이동시킨 것입니다. 중심은 (2, 0)이고 꼭짓점은 (2, 4), (−2, 0), (2, −4), (6, 0)입니다. 이 그림 하나가 틀리면 이후 계산은 전부 무의미해집니다. -
접하는 순간만 세고 꼭짓점 통과를 빼먹는다
원이 꼭짓점을 지날 때도 교점 개수는 바뀝니다. r=2(점 B), r=2√5(점 A와 C), r=6(점 D)를 후보에서 빠뜨리지 마세요. -
접할 때 교점이 1개라고 생각한다
대칭 때문에 위·아래 두 변에 동시에 접합니다. r=√2에서는 2개, r=3√2에서는 접점 2개에 다른 변과의 교점까지 더해져 4개입니다. 그림에서 직접 세어 확인하세요. -
3√2와 2√5의 순서를 눈대중으로 정한다
(3√2)²=18, (2√5)²=20이므로 3√2 < 2√5입니다. 이 순서가 바로 a₃를 결정합니다. 근호끼리는 반드시 제곱해서 비교하세요. -
구간이 (0, 10)이라는 조건을 흘린다
r>6이면 f(r)=0으로 계속 일정하므로 10 미만에서 새로운 불연속점은 생기지 않습니다. 그래도 답안에는 “구간 (0, 10)에서 불연속인 값은 다섯 개”라고 범위를 명시해야 감점이 없습니다. -
(3√2)²을 9√2나 6으로 계산한다
계수와 근호를 각각 제곱합니다. 3²×(√2)²=9×2=18. 마지막 한 줄에서 무너지는 답안이 가장 아깝습니다.
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