쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속
0210
대표 문제
사잇값 정리 · 실근이 존재하는 구간
풀이영상 있음
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사잇값 정리 · 실근이 존재하는 구간
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문제를 읽자마자
출제의도
근을 구하는 문제가 아니라 부호가 뒤집히는 칸을 찾는 문제
2x³−x²−x−3은 인수분해되지 않습니다. 출제자는 그것을 알고 냈고, 그래서 선택지를 “구간”으로 주었습니다. 사잇값 정리가 알려 주는 것은 근의 값이 아니라 근이 들어 있는 칸뿐입니다. 할 일은 선택지의 끝점 −1, 0, 1, 2, 3, 4를 대입해 f의 부호가 바뀌는 한 칸을 찾는 것입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 인수분해를 시도하고 있다면 멈추세요
유리근이 될 수 있는 후보는 ±1, ±3, ±1/2, ±3/2뿐인데 어느 것도 0을 만들지 않습니다. 근을 손으로 뽑아내는 문제가 아닙니다.
선택지가 전부 구간으로 주어졌다는 점이 도구를 지정해 주고 있습니다.
선택지가 전부 구간으로 주어졌다는 점이 도구를 지정해 주고 있습니다.
힌트 2 — 정리를 쓸 준비 두 줄
f(x)=2x³−x²−x−3으로 놓으면 다항함수이므로 모든 실수에서 연속입니다. 이 한 줄이 사잇값 정리의 전제입니다.
이제 필요한 조건은 f(a)f(b)<0 하나뿐이고, 대입할 값은 선택지의 끝점들입니다.
이제 필요한 조건은 f(a)f(b)<0 하나뿐이고, 대입할 값은 선택지의 끝점들입니다.
힌트 3 — 두 번만 대입하면 끝난다
f(1)=2−1−1−3, f(2)=16−4−2−3을 계산해 보세요. 부호가 음에서 양으로 뒤집힙니다.
“오직 하나의 실근”이라는 단서 덕분에 부호가 바뀌는 칸도 하나뿐이므로, 여기서 바로 답을 확정할 수 있습니다.
“오직 하나의 실근”이라는 단서 덕분에 부호가 바뀌는 칸도 하나뿐이므로, 여기서 바로 답을 확정할 수 있습니다.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 ③ (1, 2)
더 빠른 길 — 여섯 번 대입하지 않기
f(0)=−3<0에서 출발해 오른쪽으로 한 칸씩만 옮겨 갑니다. f(1)=−3으로 아직 음수, f(2)=7에서 처음 양수가 되는 순간 멈추면 됩니다. 대입은 두 번이면 충분합니다.
f(3), f(4)까지 계산하는 것은 확인용이지 답을 고르는 데 필요하지는 않습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
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근을 직접 구하려고 시간을 쓴다
3차방정식이 인수분해되지 않으면 사잇값 정리를 쓰라는 신호입니다. 선택지가 구간으로 주어진 순간 도구는 이미 정해졌습니다. -
“다항함수이므로 연속”이라는 한 줄을 빼먹는다
사잇값 정리는 닫힌구간에서의 연속을 전제로 합니다. 서술형에서 이 전제를 쓰지 않으면 결론만 맞아도 감점됩니다. -
f(2)를 계산할 때 2x³을 (2x)³으로 본다
2·2³=16입니다. 8이나 64로 잘못 잡으면 부호가 바뀌는 칸이 통째로 달라집니다. f(2)=16−4−2−3=7. -
f(a)f(b)>0이면 근이 없다고 단정한다
부호가 같아도 그 안에 근이 짝수 개 있을 수 있습니다. 이 문제에서는 “오직 하나의 실근”이라는 조건이 붙어 있어 다른 칸을 안심하고 배제할 수 있는 것입니다. -
답을 닫힌구간 [1, 2]로 적는다
사잇값 정리가 보장하는 것은 열린구간 (1, 2)에 c가 존재한다는 것입니다. 괄호 모양까지가 답입니다.