쎈미적분1 0202

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쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 극한과 연속

0202
난이도 중
연속함수의 성질
풀이영상 있음

문제 풀기 전에

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실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 f(x), g(x)가 x = a에서 연속일 때, 보기의 함수 중 x = a에서 항상 연속인 함수의 개수를 구하시오.

  • ㄱ. f(x) − 4g(x)
  • ㄴ. {g(x)}2
  • ㄷ. g(x) / f(x)
  • ㄹ. f(g(x))

문제를 읽자마자

출제의도

연속함수의 성질에서 공짜인 것과 조건이 붙는 것을 갈라내라는 문제

교과서의 연속함수 성질은 합·차·실수배·곱까지만 무조건 성립합니다. 나눗셈에는 (분모)≠0이, 합성에는 “바깥 함수가 g(a)에서 연속”이라는 별도의 조건이 붙습니다. 이 문제의 열쇠는 항상이라는 두 글자이고, ㄷ과 ㄹ은 반례 하나만 있으면 탈락합니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 공짜로 되는 것부터 정리
f, g가 x=a에서 연속이면 f±g, kf, fg는 추가 조건 없이 x=a에서 연속입니다.
ㄱ은 차와 실수배, ㄴ은 g·g라는 곱입니다. 이 둘은 더 볼 것이 없습니다. 남은 것은 ㄷ, ㄹ 두 개뿐입니다.
힌트 2 — ㄷ은 분모를 의심하라
g(x)/f(x)에서 분모는 f(x)입니다. 문제는 f가 연속이라고만 했지 f(a)≠0이라고는 하지 않았습니다.
만약 f(a)=0이라면 x=a에서 이 함수는 값 자체가 없습니다. 정의되지 않으면 연속일 수 없죠. “항상”이 무너지는 지점입니다.
힌트 3 — ㄹ은 반례를 그려라
f(g(x))가 x=a에서 연속이려면 lim f(g(x)) = f(g(a))여야 하고, 그러려면 f가 x = g(a)에서 연속이어야 합니다. 그런데 조건은 f가 x=a에서 연속일 뿐, g(a)에서는 아무 말이 없습니다.
g(a)가 f의 불연속점이 되도록 두 그래프를 만들면 반례가 완성됩니다. 해설의 그림처럼 g(2)=3이고 f가 x=3에서 끊긴 경우를 보세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 2  (ㄱ, ㄴ)

쎈 미적분1 0202번 해설

기억할 한 문장 — 사칙연산은 되고, 나눗셈과 합성은 조건이 붙는다

ㄷ의 반례는 f(x)=x−a, g(x)=1처럼 아주 단순하게 잡아도 됩니다. 두 함수 모두 실수 전체에서 연속이지만 f(a)=0이라 g/f는 x=a에서 정의되지 않습니다.
ㄹ의 반례도 굳이 그래프를 그리지 않고, f가 x=1에서 불연속인 함수·g(x)=1(상수함수)로 잡으면 g는 모든 점에서 연속이지만 f(g(x))=f(1)은 f의 불연속점을 그대로 물려받습니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • “항상”을 빼고 읽는다
    ㄷ과 ㄹ은 대부분의 경우 연속입니다. 그래서 감으로 풀면 4개가 됩니다. 이 문제는 예외가 단 하나라도 있으면 탈락시키라는 문제입니다.
  • ㄴ을 곱이 아니라 새로운 함수로 본다
    {g(x)}²은 g(x)·g(x)입니다. 연속함수의 곱이므로 조건 없이 연속입니다. 제곱이라고 해서 따로 검사할 것은 없습니다.
  • ㄷ에서 분자 g(a)=0을 걱정한다
    문제가 되는 것은 분모입니다. 분자가 0인 것은 값이 0일 뿐 아무 문제가 없습니다. 분자와 분모를 반대로 보는 실수가 매우 잦습니다.
  • ㄹ에서 “안팎이 다 연속이니 합성도 연속”이라고 확장한다
    연속의 정의는 점에 대한 성질입니다. f가 연속인 점은 x=a이고, 합성에서 f가 값을 받는 점은 x=g(a)입니다. 이 두 점이 같다는 보장이 없습니다.
  • 반례 그래프에서 채워진 점과 빈 점을 뒤집어 읽는다
    속이 찬 점이 실제 함숫값, 빈 점은 값이 아닌 극한의 자리입니다. 이 구분이 흔들리면 반례가 반례로 안 보입니다.


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