쎈 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속
중
곱해진 식이 0이 되는 점
풀이영상
출제의도
앞 문제(0197)와 뼈대가 같습니다. 다만 f(x)에 곱해진 것이 x−2처럼 눈에 보이는 일차식이 아니라 √(1+x)−√(1−x)라서, 이 식이 0이 되는 x를 스스로 찾아내는 것이 첫 관문입니다.
1+x=1−x에서 x=0. 즉 검사할 점은 x=0 하나뿐이고, 나머지 구간에서는 나눗셈이 자유로우니 연속이 저절로 보장됩니다.
그다음은 같은 논리입니다. 분모→0인데 극한이 존재하므로 분자→0에서 k가 정해지고, 남은 극한값이 곧 f(0)입니다. 근호 두 개짜리 분모를 유리화할 때 분모가 2x가 된다는 점이 계산의 핵심입니다.
힌트
1어느 점을 검사해야 할까요
√(1+x)−√(1−x)=0이 되는 x를 찾습니다. 양변을 이항해 √(1+x)=√(1−x), 제곱하면 1+x=1−x이므로 x=0입니다.
그 밖의 x에서는 양변을 나눌 수 있어 f(x)=(x²−2x+k)/(√(1+x)−√(1−x))이고, 이 식은 그 자체로 연속입니다. 따라서 조건이 걸리는 곳은 x=0 한 점입니다.
2k를 먼저 확정하세요
x→0일 때 (분모)→0인데 f(x)의 극한값 f(0)이 존재해야 합니다. 그러므로 (분자)→0이어야 합니다.
limx→0(x²−2x+k) = k = 0.
k=0을 넣으면 분자는 x²−2x=x(x−2)로 인수분해됩니다. 약분할 x가 준비된 셈입니다.
3분모 유리화 — 결과는 2x
분자·분모에 √(1+x)+√(1−x)를 곱하면 분모는 (1+x)−(1−x)=2x가 됩니다.
f(0) = lim x(x−2)(√(1+x)+√(1−x)) / (2x) = lim (x−2)(√(1+x)+√(1−x)) / 2
x=0을 넣으면 (−2)(1+1)/2 = −2. 묻는 것은 k+f(0)입니다.
해설
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√(1+x)−√(1−x)에 켤레를 곱해 두면 √(1+x)−√(1−x) = 2x/(√(1+x)+√(1−x))라는 항등식이 됩니다.
원식에 그대로 넣으면 2x·f(x)/(√(1+x)+√(1−x)) = x(x−2)가 되어, x로 약분한 뒤 x=0을 넣으면 2f(0)/2 = −2, 즉 f(0)=−2가 한 줄에 나옵니다.
근호가 든 식은 분모로 내려보내는 순간 다루기 쉬워진다는 것이 이 유형의 요령입니다.
실수를 줄이는 전략
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유리화한 분모를 2로 쓴다
(1+x)−(1−x)는 2가 아니라 2x입니다. 여기서 x가 빠지면 분자의 x와 약분되지 않아 f(0)=0이라는 오답(③)이 나옵니다. 이 문제에서 가장 많이 나오는 계산 실수입니다. -
검사할 점을 x=±1로 잡는다
주어진 구간이 열린구간 (−1, 1)이라 끝점은 애초에 포함되지 않습니다. 근호 안이 0이 되는 곳이 아니라, f(x)에 곱해진 식 전체가 0이 되는 곳을 찾아야 합니다. -
원식에 x=0을 대입해 k를 구하려 한다
좌변이 0·f(0)=0이므로 0=0+0+k에서 k=0이 나오긴 합니다. 다만 이때 f(0)은 아무 정보도 주지 않고 사라집니다. f(0)은 반드시 극한 계산으로 따로 구해야 합니다. -
x(x−2)에서 x−2의 부호를 놓친다
x→0에서 x−2 → −2입니다. 여기서 부호를 놓치면 답이 +2가 되어 선지 ⑤로 갑니다. 근호 부분 √1+√1=2는 양수이므로, 최종 부호를 결정하는 것은 (x−2) 한 곳뿐입니다. -
f(0)만 답하고 k를 더하지 않는다
이번엔 k=0이라 결과가 같지만, 같은 유형에서 k≠0이 나오면 그대로 오답이 됩니다. 문제가 요구한 식(k+f(0))을 답란 옆에 미리 적어 두는 습관을 들이세요.