쎈미적분1 0191 - 답지나라

쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속

0191
난이도 상
ㄱㄴㄷ 합답형
연속과 미정계수
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문제를 읽자마자

출제의도

g의 식을 모른 채, g(x)/(x−1) → a 하나만 들고 세 보기를 다 처리하는 문제

g(x)가 어떤 다항함수인지는 끝까지 알려 주지 않습니다. 알려 준 정보는 “f가 x=1에서 연속” 딱 하나. 여기서 나오는 lim g(x)/(x−1) = a라는 관계식이 ㄱ·ㄴ·ㄷ 전부를 푸는 유일한 재료입니다. ㄷ에서는 x²−1을 (x+1)(x−1)로 쪼개 그 재료가 드러나게 만드는 것이 전부입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — ㄱ, 연속의 정의를 그대로 읽기

g는 다항함수라 어디서나 연속이고, x≠1에서는 분모도 0이 아니므로 f는 이미 연속입니다. 문제 삼을 곳은 x=1 하나.
x=1에서 연속이라는 말은 정의상 lim_x→1 f(x) = f(1)이고, f(1)=a로 주어져 있습니다. ㄱ은 여기서 바로 끝납니다.

힌트 2 — ㄴ, 분모가 0으로 가는데 극한이 존재한다

lim_x→1 g(x)/(x−1) = a에서 분모 x−1 → 0인데 극한값 a는 유한합니다. 그러므로 분자 → 0, 즉 lim g(x)=0.
다르게 보면 g(x) = {g(x)/(x−1)} × (x−1)이므로 극한은 a × 0 = 0. 두 방식 중 어느 쪽으로 써도 됩니다.

힌트 3 — ㄷ, 분모를 쪼개면 재료가 보인다

x²−1 = (x+1)(x−1). 그러면 f(x)g(x) / {(x+1)(x−1)}은 {f(x)/(x+1)} × {g(x)/(x−1)}로 갈라집니다.
앞쪽은 x→1에서 a/2, 뒤쪽은 문제에서 준 a. 두 극한이 각각 존재하므로 곱해도 되고, 결과는 a²/2입니다. g(x)/(x−1)의 극한을 0으로 착각하지 마세요 — 그건 g(x) 혼자의 극한입니다.

다 풀고 나서

해설

정답·해설 펼치기

정답 ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다

쎈 미적분1 0191번 해설

구조를 드러내는 길 — 인수정리로 g를 분해

ㄴ에서 lim g(x)=0이고 g는 다항함수이므로 g(1)=0, 따라서 g(x)=(x−1)h(x) (h도 다항함수)로 쓸 수 있습니다.
그러면 x≠1에서 f(x)=h(x)이고, 연속이므로 a=f(1)=h(1). ㄷ의 식은 (x−1)h(x)² / {(x+1)(x−1)} = h(x)²/(x+1) → h(1)²/2 = a²/2.
미지의 g가 h라는 구체적 함수로 바뀌어, 세 보기가 한 화면에서 동시에 보입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

g(x)/(x−1)의 극한도 0이라고 생각한다
ㄴ에서 얻은 것은 g(x) 자체의 극한이 0이라는 사실입니다. g(x)/(x−1)은 0/0 꼴이고 그 극한은 a입니다. 이 둘을 섞으면 ㄷ의 답이 0으로 나옵니다.
ㄷ에서 x²−1을 쪼개지 않고 통째로 대입한다
분모 x²−1도 0으로 가므로 대입은 불가능합니다. (x+1)(x−1)로 인수분해해서 x−1을 g(x) 쪽에 붙여 주는 것이 유일한 길입니다.
극한을 곱으로 분리하면서 조건을 확인하지 않는다
lim(AB)=limA·limB는 두 극한이 각각 존재할 때만 성립합니다. 여기서는 f(x)/(x+1) → a/2, g(x)/(x−1) → a로 둘 다 존재하므로 사용 가능하다는 점을 한 줄로 적어 두세요.
f(1)을 g(x)/(x−1)에 넣어 구하려 한다
x=1에서 f의 값은 조건부로 a라고 따로 정의되어 있습니다. 분수식은 x≠1에서만 쓰는 식입니다.
a=0인 경우를 따로 걱정하다 시간을 쓴다
a의 값은 정해지지 않았지만, ㄱ·ㄴ·ㄷ의 결론은 a가 무엇이든 그대로 성립합니다. a=0이면 세 등식이 모두 0=0으로 참일 뿐입니다.
ㄷ만 보고 답을 ③으로 찍는다
합답형은 세 개를 모두 판정해야 선택지가 좁혀집니다. ㄱ·ㄴ이 정의 수준의 참이라는 것을 확인하면 ⑤가 남습니다.

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