쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속
0181
난이도 상
합성함수의 연속
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문제를 읽자마자
출제의도
합성함수는 안쪽 함숫값이 어디에 놓이는지만 따지면 된다
f도 g도 x=−1을 경계로 값이 툭 끊기는 계단형 함수입니다. f의 치역은 {0, 1, 2}, g의 치역은 {−1, 0, 1}로 모두 유한합니다. 그러니 f(f(x)), f(g(x)), g(f(x))는 “안쪽에서 나온 값 하나를 바깥 함수에 대입”하는 작업일 뿐이고, 승부는 x=−1의 좌·우와 x=−1 그 점 자체를 나누어 따졌는지에서 갈립니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — g를 절댓값 없이 다시 쓰기
g(x)=|x+1|/(x+1)은 분자의 절댓값을 벗기면 계단이 보입니다.
x>−1이면 (x+1)/(x+1)=1, x<−1이면 −(x+1)/(x+1)=−1, 그리고 문제에서 g(−1)=0으로 따로 정의했습니다. f와 똑같은 3단 구조로 다시 적어 놓고 시작하세요.
x>−1이면 (x+1)/(x+1)=1, x<−1이면 −(x+1)/(x+1)=−1, 그리고 문제에서 g(−1)=0으로 따로 정의했습니다. f와 똑같은 3단 구조로 다시 적어 놓고 시작하세요.
힌트 2 — ㄱ은 치역만 보면 끝
f(x)가 가질 수 있는 값은 2, 1, 0 세 개뿐이고, 셋 다 −1보다 큽니다.
그러면 바깥쪽 f에는 항상 “−1보다 큰 수”가 들어가므로 f(f(x))의 값은 언제나 하나로 고정됩니다. 어떤 값인가요?
그러면 바깥쪽 f에는 항상 “−1보다 큰 수”가 들어가므로 f(f(x))의 값은 언제나 하나로 고정됩니다. 어떤 값인가요?
힌트 3 — ㄴ과 ㄷ은 좌·우를 갈라서
ㄴ: x→−1+이면 g(x)=1이므로 f(1)=2, x→−1−이면 g(x)=−1이므로 f(−1)=1입니다(−1은 f의 경계값이라 2가 아닙니다). 두 값이 다르면 극한은?
ㄷ: x→−1+이면 f(x)=2 → g(2)=1, x→−1−이면 f(x)=0 → g(0)=1. 극한이 같다면 마지막으로 g(f(−1))까지 대입해 보세요.
ㄷ: x→−1+이면 f(x)=2 → g(2)=1, x→−1−이면 f(x)=0 → g(0)=1. 극한이 같다면 마지막으로 g(f(−1))까지 대입해 보세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ④ ㄱ, ㄷ
더 빠른 길 — ㄱ은 치역 한 줄로
f의 치역은 {0, 1, 2}이고 모두 −1보다 크므로, 바깥 f는 언제나 첫 번째 줄 “2”를 내놓습니다. 즉 모든 실수 x에 대하여 f(f(x))=2. 상수함수이므로 실수 전체에서 연속입니다. 구간을 세 개로 나눠 표를 그릴 필요가 없습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
g(−1)=0을 빠뜨린다
절댓값 식만 보고 g를 1과 −1의 두 값짜리로 정리하면 ㄷ의 판정이 어긋납니다. 문제가 x=−1에서 따로 0을 지정했다는 사실을 먼저 적어 두세요. -
ㄴ에서 f(−1)을 2로 대입한다
f는 x>−1에서만 2입니다. x=−1은 경계값이라 f(−1)=1. 이 한 칸 때문에 좌극한이 1이 되고, ㄴ이 거짓이 됩니다. -
안쪽이 상수인데도 극한 계산을 이어 간다
x→−1−에서 g(x)는 −1에 “가까워지는” 것이 아니라 정확히 −1입니다. 그러면 f(g(x))도 정확히 f(−1)=1인 상수이므로 좌극한은 곧바로 1입니다. -
극한이 존재하는 것만 보고 연속이라고 결론 낸다
ㄷ은 극한 1을 구한 뒤 함숫값 g(f(−1))=g(1)=1까지 확인해야 완성입니다. 두 값이 같아야 비로소 연속입니다. -
ㄷ에서 안쪽 값 2와 0이 다르니 극한도 다르다고 넘겨짚는다
안쪽이 달라도 바깥 g를 통과하면 g(2)=g(0)=1로 같아집니다. 항상 바깥 함수까지 대입한 뒤에 비교하세요.
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