쎈미적분1 0180

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쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속

0180
난이도 중
합성함수·곱의 연속
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쎈 미적분1 0180번 문제

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출제의도

f가 x=0에서 불연속이어도 곱과 합성까지 불연속인 건 아니다

f는 x=0에서 좌극한 −1, 우극한 1, 함숫값 0으로 명백히 불연속입니다. 그걸 보고 “그러니 셋 다 불연속”이라고 찍으라고 만든 문제입니다. 연속 판정은 예외 없이 (좌극한)·(우극한)·(함숫값) 세 값을 각각 계산해 비교하는 것이고, 이 문제에서는 g가 x=0 근처를 전부 0으로 눌러 주기 때문에 결론이 뒤집힙니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 그래프에서 먼저 읽어낼 것
두 그래프에서 x=0 주변의 값부터 확정하세요.
f: 좌극한 −1, 우극한 1, f(0)=0(원점의 점은 채워진 점).
g: −1≤x≤1에서 g(x)=0으로 납작합니다. 이 한 줄이 ㄱ·ㄴ을 통째로 해결합니다.
힌트 2 — ㄱ과 ㄴ
ㄱ은 좌우 따로 계산합니다. x→0+에서 1·0, x→0−에서 (−1)·0. 극한이 0으로 같고, f(0)g(0)=0과도 같습니다.
ㄴ은 계산할 것이 거의 없습니다. x=0 근처에서 g(x)=0이므로 f(g(x))는 상수 f(0)=0입니다.
힌트 3 — ㄷ은 치환
f(x)=t로 놓으세요. x→0+이면 t→1−, x→0−이면 t→−1+입니다. 화살표 방향까지 반드시 적어야 합니다.
g는 t=1과 t=−1 근처에서 값이 0이므로 좌·우 극한이 모두 0. 마지막으로 g(f(0))=g(0)=0까지 확인하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

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정답 ⑤  ㄱ, ㄴ, ㄷ

쎈 미적분1 0180번 해설 1
쎈 미적분1 0180번 해설 2

더 빠른 길 — ㄴ은 “상수함수”로 끝낸다

−1≤x≤1에서 g(x)=0이므로, x=0을 품는 구간 전체에서 f(g(x))=f(0)=0입니다. 즉 x=0 근처에서 f(g(x))는 상수함수이고, 상수함수는 어디서나 연속입니다. 극한을 따로 계산할 필요가 없습니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • f가 불연속이니 ㄱ·ㄴ·ㄷ도 불연속이라고 단정한다
    불연속인 함수끼리의 곱·합성이 연속이 되는 경우는 얼마든지 있습니다. 반드시 세 값을 각각 계산해서 비교하세요.
  • ㄷ에서 t→1, t→−1의 방향을 빼먹는다
    g는 t=1과 t=−1에서 꺾입니다. t→1−인지 t→1+인지에 따라 값이 달라질 수 있으므로, 치환하면 화살표 방향을 반드시 함께 옮겨 적습니다.
  • 극한값만 맞춰 보고 함숫값 확인을 건너뛴다
    연속의 정의는 (좌극한)=(우극한)=(함숫값)입니다. f(0)g(0), f(g(0)), g(f(0))을 각각 따로 대입해서 확인하세요.
  • 그래프의 ○과 ●를 뒤바꿔 읽는다
    f(0)은 뚫린 점 1이나 −1이 아니라 채워진 점 0입니다. 이 한 점을 잘못 읽으면 ㄱ과 ㄷ의 결론이 통째로 뒤집힙니다.
  • ㄴ과 ㄷ의 안쪽·바깥쪽을 헷갈린다
    f(g(x))는 g를 먼저 넣고 f를 나중에, g(f(x))는 그 반대입니다. 항상 안쪽 함숫값이 “어디로 가는지”부터 적고 시작하세요.


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