쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속
0175
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곱함수의 극한과 연속
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문제를 읽자마자
출제의도
극한값은 ∘에서, 함숫값은 •에서 따로따로 읽으라는 문제
두 그래프 모두 x=1에서 ∘와 •가 어긋나 있습니다. 곱함수의 극한은 각 함수의 극한을 곱해서 구하고, 곱함수의 함숫값은 각 함숫값을 곱해서 구합니다. 이렇게 서로 다른 경로로 얻은 두 수를 비교하는 것이 연속 판정의 전부이고, 이 문제는 그 둘이 갈리는 상황을 일부러 만들어 놓았습니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 여섯 개의 수부터 적기
x=1을 기준으로 f와 g 각각의 좌극한·우극한·함숫값을 표로 적으세요. 그래프만 보고 여섯 칸을 채우면 ㄱ, ㄴ, ㄷ이 전부 계산 문제로 바뀝니다.
∘는 그 점의 값이 아니고, •가 그 점의 값입니다.
∘는 그 점의 값이 아니고, •가 그 점의 값입니다.
힌트 2 — ㄱ, 곱의 극한은 한쪽씩
g는 x=1에서 좌극한과 우극한이 −2와 2로 다릅니다. 그래서 lim(fg)=lim f · lim g를 통째로 쓸 수 없고, 우극한끼리 곱하고 좌극한끼리 곱해서 비교해야 합니다.
f의 극한은 어느 쪽에서 접근하든 0입니다. 0을 곱하면 어떻게 될까요?
f의 극한은 어느 쪽에서 접근하든 0입니다. 0을 곱하면 어떻게 될까요?
힌트 3 — ㄴ과 ㄷ, 비교할 두 수
연속의 정의는 lim f(x) = f(1)입니다. ㄴ은 f의 극한값 0과 함숫값 3을 비교하면 끝납니다.
ㄷ은 ㄱ에서 구한 곱의 극한값과 f(1)g(1)을 비교하세요. f(1)은 3, g(1)은 2입니다.
ㄷ은 ㄱ에서 구한 곱의 극한값과 f(1)g(1)을 비교하세요. f(1)은 3, g(1)은 2입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ㄷ
풀이영상
이 문제의 구조 — 0이 불일치를 지운다
g의 좌우극한이 −2와 2로 어긋나 있는데도 곱의 극한이 0으로 살아난 이유는 f의 극한이 0이기 때문입니다. 한쪽이 0으로 가면 다른 쪽이 어떤 값으로 갈라지든 곱은 0으로 모입니다.
즉 “g가 불연속이면 fg도 극한이 없다”는 명제는 거짓이고, 이 문항이 그 반례입니다. 극한의 존재와 연속은 매번 따로 확인해야 합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
g가 x=1에서 불연속이니 fg의 극한도 없다고 단정한다
가장 많이 나오는 오답입니다. 좌우극한을 실제로 계산하면 양쪽 다 0으로 같습니다. 곱함수는 각 함수의 성질을 그대로 물려받지 않습니다. -
극한의 곱 법칙을 좌우 구분 없이 쓴다
lim g(x)가 존재하지 않으므로 lim(fg)=lim f · lim g를 바로 쓸 수 없습니다. x→1+와 x→1−로 나눠 각각 계산한 뒤 두 값이 같은지 확인하는 순서를 지키세요. -
f(1)을 0으로 읽는다
(1, 0)은 ∘, (1, 3)이 •입니다. 극한값이 0이고 함숫값이 3이라 ㄴ이 거짓이 되는 것인데, 여기서 잘못 읽으면 세 명제가 전부 뒤집힙니다. -
f(1)g(1)을 0×2로 계산한다
곱함수의 함숫값은 각 함숫값의 곱입니다. 3×2=6이고, 극한값 0과 다르므로 x=1에서 불연속입니다. -
극한이 존재하니까 연속이라고 마무리한다
극한의 존재는 연속의 조건 중 하나일 뿐입니다. f(1)이 정의되어 있는지, 그 값이 극한값과 같은지까지 확인해야 판정이 끝납니다.
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