쎈미적분1 0172

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쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속 · 유형 02 함수의 그래프와 연속

0172
대표문제
그래프에서 연속 판정
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풀이영상

함수 y=f(x)의 그래프가 아래 그림과 같을 때, f(x)에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

−1 O 1 3 x y 1 2 y=f(x)

● 은 그 점의 함숫값, ○ 는 함숫값이 아닌 자리(뚫린 점)입니다.

  1. ①f(0)=1
  2. ②limx→1+ f(x)=2
  3. ③함수 f(x)는 x=2에서 연속이다.
  4. ④구간 (−1, 3)에서 함수 f(x)가 불연속이 되는 x의 값은 2개이다.
  5. ⑤limx→1 f(x)의 값이 존재하지 않으므로 함수 f(x)는 x=1에서 불연속이다.

문제를 읽자마자

출제의도

불연속이라는 결론이 맞아도, 그 이유가 틀리면 틀린 선지

불연속에는 두 가지 종류가 있습니다. 극한값 자체가 없는 경우와, 극한값은 멀쩡히 있는데 함숫값과 어긋나는 경우. 이 문제의 x=0은 앞쪽, x=1은 뒤쪽입니다. 두 유형을 섞어 쓰면 ⑤에 걸립니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 연속의 세 조건
x=a에서 연속이려면 ① f(a)가 정의되고 ② limx→a f(x)가 존재하고 ③ 두 값이 같아야 합니다.
세 조건 중 어느 것이 깨졌는지에 따라 불연속의 “이유”가 달라집니다. 그래프에서 끊긴 곳은 x=0과 x=1, 두 군데뿐입니다.
힌트 2 — 두 지점을 유형별로 나누기
x=0: 왼쪽에서 다가가면 0, 오른쪽에서 다가가면 1. 좌우가 다르니 극한값이 없습니다.
x=1: 왼쪽에서도 2, 오른쪽에서도 2. 극한값은 2로 존재합니다. 그런데 ● 이 찍힌 자리는 (1, 1)이므로 f(1)=1.
같은 “불연속”이지만 깨진 조건이 서로 다릅니다.
힌트 3 — ⑤를 두 조각으로 쪼개기
⑤는 “lim이 존재하지 않으므로(근거) + x=1에서 불연속이다(결론)” 두 문장이 붙어 있습니다.
결론은 참입니다. 하지만 근거는? 힌트 2에서 limx→1 f(x)=2로 존재한다고 확인했습니다. 근거가 거짓이면 선지 전체가 거짓입니다.

다 풀고 나서

해설

정답·해설 펼치기

정답 ⑤  극한값은 2로 존재한다

쎈 미적분1 0172번 해설

더 빠른 길 — 표 한 줄로 끊긴 점 정리하기

끊긴 점마다 (좌극한, 우극한, 함숫값) 세 값을 한 줄로 적으세요.
x=0 → (0, 1, 1): 좌우가 다름 ⟹ 극한 없음.
x=1 → (2, 2, 1): 좌우는 같은데 함숫값이 다름 ⟹ 극한은 있음.
이 표만 있으면 ①~⑤를 눈으로 훑어 걸러낼 수 있고, “극한이 없다”는 표현이 붙은 선지는 x=0에만 쓸 수 있다는 것이 바로 보입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 결론만 읽고 ⑤를 옳은 선지로 넘긴다
    “x=1에서 불연속”은 맞습니다. 하지만 앞에 붙은 이유절이 틀렸습니다. “~이므로”, “~때문에”가 들어간 선지는 반드시 이유와 결론을 따로 검증하세요.
  • ○ 와 ● 를 구분하지 않고 함숫값을 읽는다
    x=1의 꼭짓점 (1, 2)는 뚫린 점이라 함숫값이 아닙니다. f(1)=1은 아래쪽 ● 에서 읽습니다. 그래프 문제는 점의 속을 먼저 보세요.
  • ④의 구간이 열린구간임을 놓친다
    (−1, 3)은 양 끝 −1과 3을 포함하지 않습니다. 끝점을 세느냐 마느냐로 개수가 달라지는 문제가 많으니 괄호 모양부터 확인하세요.
  • x=2를 특별한 점으로 오해한다
    ③은 함정이 아니라 확인용입니다. x=2 근처는 매끈한 직선이므로 연속이 맞습니다. “그래프가 이어져 있으면 연속”이라는 기본으로 즉시 판정하세요.
  • 좌극한 값을 함숫값으로 쓴다
    x=0에서 왼쪽 곡선이 원점으로 내려오지만 f(0)=1입니다. limx→0− f(x)=0과 f(0)=1은 완전히 다른 값입니다.


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