쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속 · 유형 02 함수의 그래프와 연속
0173
난이도 하
극한 없음 vs 불연속
풀이영상 있음
난이도 하
극한 없음 vs 불연속
풀이영상 있음
문제 풀기 전에
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● 은 그 점의 함숫값, ○ 는 함숫값이 아닌 자리(뚫린 점)입니다.
함수 y=f(x)의 그래프가 위 그림과 같다. 구간 (−2, 2)에서 함수 f(x)의 극한값이 존재하지 않는 x의 값의 개수를 a, f(x)가 불연속이 되는 x의 값의 개수를 b라 할 때, ab의 값을 구하시오.
문제를 읽자마자
출제의도
“극한이 없다”와 “불연속이다”는 같은 말이 아니다
극한값이 없으면 반드시 불연속입니다. 하지만 그 역은 성립하지 않습니다. 극한은 멀쩡히 있는데 함숫값만 어긋난 점도 불연속입니다. 그래서 a와 b는 항상 a ≤ b이고, 이 문제는 두 수가 실제로 다른 상황을 만들어 그 차이를 확인합니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 후보부터 찍기
그래프가 매끄럽게 이어진 곳은 볼 필요가 없습니다. ○ 나 ● 가 찍혀 있는 곳만 보세요. 구간 (−2, 2) 안에서 그런 자리는 x=−1과 x=1, 딱 두 군데입니다.
구간이 열린구간이라는 점도 함께 확인하세요.
구간이 열린구간이라는 점도 함께 확인하세요.
힌트 2 — 두 지점의 좌·우극한 읽기
x=−1: 왼쪽 직선은 2로 올라오고, 오른쪽 곡선은 1에서 시작합니다. 좌극한 2, 우극한 1 ⟹ 극한값 없음.
x=1: 왼쪽 곡선도 1로 올라오고, 오른쪽 직선도 1에서 내려갑니다. 좌·우 모두 1 ⟹ 극한값 1로 존재. 그런데 ● 은 (1, 0)에 있습니다.
x=1: 왼쪽 곡선도 1로 올라오고, 오른쪽 직선도 1에서 내려갑니다. 좌·우 모두 1 ⟹ 극한값 1로 존재. 그런데 ● 은 (1, 0)에 있습니다.
힌트 3 — a와 b를 따로 세고, 마지막을 확인하기
a는 극한값이 없는 x의 개수 — 힌트 2에서 x=−1 하나뿐입니다.
b는 불연속인 x의 개수 — x=−1(극한 없음)과 x=1(극한≠함숫값) 두 개입니다.
문제가 물은 것은 a+b가 아니라 ab입니다.
b는 불연속인 x의 개수 — x=−1(극한 없음)과 x=1(극한≠함숫값) 두 개입니다.
문제가 물은 것은 a+b가 아니라 ab입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 2 a=1, b=2 ⟹ ab=2
더 빠른 길 — 불연속을 두 칸으로 나눠 표시하기
끊긴 점을 찾을 때마다 그 옆에 [점프] 또는 [구멍]이라고 적어 두세요.
[점프] = 좌우극한이 달라 끊긴 것 ⟹ a에도 b에도 들어감.
[구멍] = 좌우극한은 같은데 ● 만 딴 자리 ⟹ b에만 들어감.
이 문제는 x=−1이 [점프], x=1이 [구멍]이므로 a=1, b=2가 세는 순간 확정됩니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
a와 b를 같은 수로 센다
“끊겼으니 극한도 없겠지”가 이 문제의 유일한 함정입니다. x=1처럼 좌우극한이 같고 함숫값만 어긋난 점은 b에는 들어가지만 a에는 들어가지 않습니다. -
x=1의 ○ (1, 1)을 함숫값으로 읽는다
f(1)=0입니다. ○ 를 함숫값으로 잘못 읽으면 lim=f(1)이 되어 x=1이 연속으로 보이고, b=1이 되어 답이 1로 바뀝니다. -
열린구간 (−2, 2)의 끝점을 센다
x=−2와 x=2는 구간에 포함되지 않습니다. 그래프가 그 바깥까지 그려져 있어도 세지 않습니다. -
곡선의 최솟값 자리를 불연속점으로 넣는다
x=0 근처에서 그래프가 아래로 꺾이지만 끊기지는 않았습니다. 뾰족하거나 방향이 바뀌는 것과 끊기는 것은 다른 이야기입니다. -
ab를 a+b로 계산한다
a=1, b=2를 옳게 구하고도 3으로 답하는 경우가 많습니다. 답을 쓰기 전에 문제의 마지막 문장을 한 번 더 읽으세요.
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