쎈미적분1 0171

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쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속

0171
난이도 중
함수의 연속과 불연속
풀이영상 있음

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풀이영상

함수 f(x)=1x −4x이 불연속이 되는 x의 값의 개수는?

  1. ①1
  2. ②2
  3. ③3
  4. ④4
  5. ⑤5

문제를 읽자마자

출제의도

식을 정리하기 전의 정의역까지 세라는 문제

분모 안에 또 분모가 들어 있는 꼴입니다. 통분해서 정리하면 깔끔한 유리함수 한 개가 나오지만, 그 과정에서 조건 하나가 눈앞에서 사라집니다. 출제자가 노리는 것은 계산력이 아니라 “정리 후의 식만 보고 세는 습관”입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 모양부터 정리하기
분모 x − 4/x를 한 덩어리 분수로 만드세요. 통분하면 (x²−4)/x 입니다.
번분수는 뒤집어 곱하면 되니, f(x)는 어떤 유리함수가 되나요?
힌트 2 — 정리된 식에서 세기
f(x)=x/(x²−2²) 꼴이 되었을 겁니다. 분모가 0이 되는 x를 찾으세요. x²−4=0이니 x=2 하나가 아니라 두 개입니다.
여기까지면 답이 2개, 즉 ②처럼 보입니다. 그런데 정말 끝일까요?
힌트 3 — 사라진 조건 되찾기
원래 식에는 4/x가 있었습니다. 이 항 때문에 x=0에서는 애초에 f(x)를 계산할 수조차 없습니다.
정리된 x/(x²−4)에 x=0을 넣으면 0이 나오지만, 그건 정리 뒤에 생긴 값일 뿐 원래 함수의 값이 아닙니다. 정의역에서 빠지는 x를 모두 모으면 몇 개인가요?

다 풀고 나서

해설

정답·해설 펼치기

정답 ③  불연속인 x는 −2, 0, 2

쎈 미적분1 0171번 해설

더 빠른 길 — 정리하지 말고 “못 쓰는 x”만 찾기

분수식이 성립하려면 ① 안쪽 분모 x가 0이 아니어야 하고, ② 바깥쪽 분모 x−4/x가 0이 아니어야 합니다.
①에서 x≠0, ②에서 x−4/x=0 ⟹ x²=4 ⟹ x≠±2. 제외되는 값은 −2, 0, 2 — 통분도 약분도 하지 않고 세 개가 바로 나옵니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 정리 후의 식만 보고 x=±2만 센다
    가장 많이 나오는 오답 ②입니다. 식을 변형했으면 “변형 과정에서 없어진 조건이 있는가”를 한 번 되묻는 습관을 들이세요. 번분수·약분이 있으면 거의 항상 있습니다.
  • x=0에서 함숫값이 0이니 연속이라고 본다
    x/(x²−4)에 0을 넣어 나온 0은 원래 함수의 값이 아닙니다. 정의역에 없는 점은 연속인지 따지기 전에 이미 불연속점으로 셉니다.
  • x − 4/x를 (x−4)/x로 잘못 통분한다
    x를 x²/x로 바꿔서 더해야 합니다. (x²−4)/x. 이 한 글자가 틀리면 답이 −4, 0 두 개로 바뀝니다.
  • x²−4=0에서 x=2만 적는다
    제곱 방정식은 항상 부호 두 개입니다. x=±2를 세트로 쓰고 나서 개수를 세세요.
  • “불연속이 되는 x”를 “그래프가 끊긴 점”으로만 본다
    정의되지 않는 점, 극한이 없는 점, 극한과 함숫값이 다른 점 — 세 경우 모두 불연속입니다. 이 문제는 첫 번째 유형만 세 개 나온 경우입니다.


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