쎈수학 미적분Ⅰ · 01 함수의 극한
0061
난이도 상
서술형
t→∞와 접근 방향
풀이영상 있음
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t→∞와 접근 방향
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문제를 읽자마자
출제의도
유리식이 어떤 값에 가는지가 아니라 어느 쪽에서 가는지를 묻는 문제
(t−1)/(t+2)가 1로, (4t+1)/(t−2)가 4로 간다는 것은 누구나 압니다. 그런데 f의 그래프는 x=1과 x=4에서 좌·우가 끊겨 있습니다. 그래서 1−인지 1+인지, 4+인지 4−인지에 따라 답이 통째로 바뀝니다. 두 유리식을 상수 ± (양수)/(일차식) 꼴로 분리하는 순간 접근 방향이 눈에 보이고, 그게 이 문제의 전부입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 대입하지 말고 분리하라
분자를 분모로 나누어 상수 + 나머지/분모 꼴로 고치세요.
(t−1)/(t+2)는 1에서 무언가를 뺀 모양, (4t+1)/(t−2)는 4에 무언가를 더한 모양이 됩니다. 그 “무언가”의 부호가 이 문제의 답을 결정합니다.
(t−1)/(t+2)는 1에서 무언가를 뺀 모양, (4t+1)/(t−2)는 4에 무언가를 더한 모양이 됩니다. 그 “무언가”의 부호가 이 문제의 답을 결정합니다.
힌트 2 — 첫 번째 극한의 방향
(t−1)/(t+2) = 1 − 3/(t+2)입니다. t→∞이면 3/(t+2)는 양수인 채로 0에 가까워지므로, 전체 값은 늘 1보다 작습니다. 즉 1−입니다.
이제 그래프에서 x=1의 왼쪽에서 f가 향하는 높이를 읽으세요.
이제 그래프에서 x=1의 왼쪽에서 f가 향하는 높이를 읽으세요.
힌트 3 — 두 번째 극한과 마무리
(4t+1)/(t−2) = 4 + 9/(t−2)이고, t가 충분히 크면 9/(t−2)는 양수입니다. 따라서 4+이고, 그래프에서 x=4의 오른쪽 값을 읽습니다.
마지막으로 문제가 요구한 식은 두 극한의 단순 차가 아니라 앞쪽에 2가 곱해진 형태라는 점을 확인하세요.
마지막으로 문제가 요구한 식은 두 극한의 단순 차가 아니라 앞쪽에 2가 곱해진 형태라는 점을 확인하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 3 2·2 − 1 = 3
풀이영상
서술형 채점 포인트 — 배점이 어디에 붙는가
이 문항의 배점은 첫 번째 극한값 40%, 두 번째 극한값 40%, 최종 계산 20%로 나뉩니다. 즉 답 3보다 두 극한을 각각 구해낸 과정에 8할이 걸려 있습니다.
답안에는 ① 유리식을 분리한 식, ② 그래서 1−(또는 4+)로 접근한다는 문장, ③ 그 방향에서 f의 극한값, 이 세 줄을 각 극한마다 반드시 쓰세요. “1로 가므로 f(1)=2″처럼 방향을 생략하면 값이 맞아도 감점 대상입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
접근 방향을 무시하고 함숫값을 대입한다
그래프에 뚫린 점이 있으면 f(1), f(4)와 좌·우 극한값은 서로 다릅니다. 유리식이 어떤 수로 가는지까지만 구하고 멈추면 이 문제는 절반도 풀리지 않은 상태입니다. -
1 − 3/(t+2)에서 부호를 흘려 1+로 판정한다
빼는 값이 양수이므로 전체는 1보다 작습니다. 확신이 서지 않으면 t=100 같은 큰 수를 넣어 실제로 1보다 큰지 작은지 확인하세요. 30초면 검증됩니다. -
(4t+1)/(t−2)를 4−로 잘못 본다
더해지는 값이 9/(t−2)이고 t가 크면 분모도 양수이므로 결과는 4보다 큽니다. 앞선 식이 1−였다고 해서 이 식도 아래에서 접근할 것이라 넘겨짚지 마세요. -
마지막에 2를 곱하지 않는다
구한 것은 각 극한값 2와 1입니다. 문제가 요구한 것은 2×(첫 번째) − (두 번째)입니다. 2−1=1로 답을 적는 실수가 매우 잦습니다. -
서술형인데 방향의 근거를 쓰지 않는다
“3/(t+2)>0이므로 1보다 작은 쪽에서 접근한다”라는 한 줄이 배점의 핵심입니다. 값만 적힌 답안은 부분점수를 크게 잃습니다.
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