쎈수학 미적분Ⅰ · 01 함수의 극한
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그래프와 합성함수의 극한
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문제를 읽자마자
출제의도
안쪽 함수가 상수 구간에 놓이는지, 한 점을 지나가는지를 그래프에서 읽는 문제
그래프로 주어진 합성함수의 극한은 계산 문제가 아니라 관찰 문제입니다. x=−1의 좌·우에서 안쪽 함수가 어떤 값을 갖는지 먼저 읽고, 그 값이 고정된 값인지 아니면 어떤 값으로 다가가는 값인지를 구분해야 합니다. 고정이면 바깥 함수에 대입, 접근이면 바깥 함수의 좌·우 극한을 씁니다. ㄴ과 ㄷ은 정확히 이 둘을 나누어 물어봅니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — ㄱ은 g의 그래프만 보면 끝
x=−1 왼쪽에서 g의 높이, 오른쪽에서 g의 높이를 각각 읽으세요. 두 값이 2와 1로 다릅니다.
좌극한과 우극한이 다르면 그 점에서의 극한은 존재하지 않습니다. 여기서 g(−1)의 함숫값은 아무 상관이 없습니다.
좌극한과 우극한이 다르면 그 점에서의 극한은 존재하지 않습니다. 여기서 g(−1)의 함숫값은 아무 상관이 없습니다.
힌트 2 — ㄴ은 대입, 값이 같으면 존재
g(x)=t로 놓으세요. x→−1+이면 g는 그 구간에서 정확히 1, x→−1−이면 정확히 2입니다. 다가가는 것이 아니라 상수 구간이므로 그대로 대입합니다.
f(1)과 f(2)를 각각 그래프에서 읽어 보세요. 안쪽 값이 서로 달라도 바깥을 통과한 결과가 같으면 극한은 존재합니다.
f(1)과 f(2)를 각각 그래프에서 읽어 보세요. 안쪽 값이 서로 달라도 바깥을 통과한 결과가 같으면 극한은 존재합니다.
힌트 3 — ㄷ은 f가 0을 지나간다는 것이 핵심
f(x)=s로 놓으세요. f의 그래프는 x=−1에서 0을 지나며 증가합니다. 그래서 x→−1+이면 s→0+, x→−1−이면 s→0−입니다. 이번엔 상수가 아니라 접근입니다.
이제 g의 x=0 좌우 극한을 읽어야 합니다. 오른쪽은 0에서 올라가는 선, 왼쪽은 높이 1인 수평선입니다.
이제 g의 x=0 좌우 극한을 읽어야 합니다. 오른쪽은 0에서 올라가는 선, 왼쪽은 높이 1인 수평선입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ㄴ 극한값이 존재하는 것은 ㄴ뿐
정리하는 틀 — 표 하나로 끝내기
합성함수의 극한은 항상 두 칸짜리 표로 정리하면 실수가 줄어듭니다. 왼쪽 칸에 “x→−1−일 때 안쪽 값”, 오른쪽 칸에 “x→−1+일 때 안쪽 값”을 적고, 각 칸 아래에 그 값을 바깥 함수에 넣은 결과를 적습니다.
ㄴ은 (2 → 1) / (1 → 1)이라 아래 줄이 같으므로 존재, ㄷ은 (0− → 1) / (0+ → 0)이라 아래 줄이 다르므로 존재하지 않습니다. 위 줄이 다른지가 아니라 아래 줄이 같은지가 판정 기준입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(g(−1))처럼 함숫값을 그냥 대입한다
합성함수의 극한은 함숫값과 다릅니다. 그래프에 뚫린 점이 있는 순간 대입은 무효입니다. 반드시 좌·우로 나누어 안쪽 값을 먼저 읽으세요. -
ㄴ에서 안쪽 값이 1, 2로 다르니 극한이 없다고 결론 낸다
안쪽 값이 달라도 f(1)=f(2)=1이면 최종 결과는 같습니다. 판정은 바깥 함수를 통과한 뒤의 값으로 합니다. 이 문제에서 가장 많이 갈리는 지점입니다. -
ㄷ에서 s→0을 방향 없이 쓴다
g는 x=0에서 좌우 극한이 서로 다릅니다. s→0+인지 0−인지 적지 않으면 판정 자체가 불가능합니다. f가 −1에서 증가하며 0을 통과한다는 사실이 방향의 근거입니다. -
상수 구간과 연속 증가 구간을 구분하지 않는다
g는 x=−1 주변에서 상수(값에 닿음), f는 x=−1 주변에서 증가(값으로 다가감)입니다. 같은 x=−1이라도 안쪽 함수가 무엇이냐에 따라 처리 방식이 완전히 달라집니다. -
g(0)의 점 표시를 극한값으로 읽는다
그래프에서 채워진 점은 함숫값, 뚫린 점은 극한의 목표값입니다. 극한을 물었다면 점의 채움 여부와 무관하게 선이 향하는 높이를 읽으세요.