쎈수학 미적분Ⅰ · 01 함수의 극한
0059
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합성함수의 극한
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문제를 읽자마자
출제의도
안쪽 f(x)가 값에 닿는지, 값으로 다가가는지를 가르는 문제
f(x)는 x<0에서 −1로 고정된 상수이고, x≥0에서는 x−2로 움직입니다. 합성 f(f(x))에서 안쪽이 고정된 값이면 바깥 f에 그 값을 그대로 대입하고, 어떤 값으로 다가가는 값이면 바깥 f의 그 점에서의 좌·우 극한을 써야 합니다. 세 개의 보기는 이 두 상황을 번갈아 물어봅니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — ㄱ은 식이 갈라지는 지점
x=0은 f의 정의가 바뀌는 경계입니다. 경계에서는 좌극한과 우극한을 따로 계산하는 것이 원칙입니다.
x→0+에서는 x−2를, x→0−에서는 −1을 쓰면 각각 얼마인가요? 두 값이 다르면 그 순간 극한은 존재하지 않습니다.
x→0+에서는 x−2를, x→0−에서는 −1을 쓰면 각각 얼마인가요? 두 값이 다르면 그 순간 극한은 존재하지 않습니다.
힌트 2 — ㄴ은 “다가감”이 아니라 “고정”
x→0−이라는 말은 x가 0보다 작다는 뜻입니다. 그 구간에서 f(x)의 값은 x가 무엇이든 정확히 −1입니다. 0으로 다가가는 것이 아닙니다.
그러면 f(f(x))는 f(−1)이고, −1<0이므로 다시 아래쪽 식을 씁니다.
그러면 f(f(x))는 f(−1)이고, −1<0이므로 다시 아래쪽 식을 씁니다.
힌트 3 — ㄷ은 방향까지 따라가기
x→2+이면 x≥0이므로 f(x)=x−2이고, 이 값은 0+로 다가갑니다. 이번엔 고정이 아니라 접근입니다.
t=f(x)로 놓으면 t→0+이므로 바깥은 x≥0 쪽 식 t−2를 써야 합니다. 0−쪽 식(−1)을 쓰면 안 됩니다.
t=f(x)로 놓으면 t→0+이므로 바깥은 x≥0 쪽 식 t−2를 써야 합니다. 0−쪽 식(−1)을 쓰면 안 됩니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ⑤ ㄴ, ㄷ
더 빠른 길 — 그래프 한 장으로 끝내기
f의 그래프를 한 번만 그려 두면 세 보기를 눈으로 처리할 수 있습니다. x<0에서는 높이 −1인 수평선, x≥0에서는 (0,−2)에서 시작하는 직선입니다.
ㄴ은 왼쪽 수평선 위의 점이 전부 −1이라는 사실만 보면 되고, ㄷ은 x=2 오른쪽에서 출력이 0을 지나 조금씩 커진다는 것만 보면 됩니다. 계산이 아니라 위치 확인입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
ㄱ에서 우극한만 보고 −2라고 단정한다
정의가 갈라지는 x=0에서는 양쪽을 모두 봐야 합니다. 우극한 −2, 좌극한 −1로 다르므로 극한값 자체가 없습니다. “값이 −2인가”가 아니라 “존재하는가”부터 물어야 합니다. -
ㄴ에서 f(x)가 −1로 다가간다고 쓴다
x<0에서 f(x)는 −1에 다가가는 것이 아니라 이미 −1입니다. 그래서 t→−1이 아니라 t=−1이고, 극한 기호 없이 f(−1)을 대입하면 끝납니다. -
ㄷ에서 t가 0으로 가는 방향을 빠뜨린다
x→2+이면 t=x−2는 0+입니다. 0−이었다면 바깥 식이 −1로 바뀌어 답이 달라집니다. 합성함수는 안쪽의 접근 방향(+, −)까지 반드시 적으세요. -
안쪽 함수의 결과를 바깥에 대입할 때 조건을 다시 안 본다
f(−1)에서 −1<0, f(t)에서 t→0+로 t≥0. 대입할 값이 어느 구간에 들어가는지 매번 확인해야 어느 쪽 식을 쓸지 결정됩니다. -
ㄴ·ㄷ만 확인하고 선택지를 급하게 고른다
참인 보기를 두 개 찾았다고 ④를 고르는 실수가 잦습니다. ㄱ이 거짓임을 확인한 뒤 ㄴ, ㄷ이 함께 든 선택지를 고르세요.