쎈수학 미적분Ⅰ · 01 함수의 극한
0058
난이도 중
합성함수의 극한
평행이동한 함수의 극한
풀이영상 있음
난이도 중
합성함수의 극한
평행이동한 함수의 극한
풀이영상 있음
▶ 풀이영상 먼저 보기
문제를 읽자마자
출제의도
치환한 변수가 어느 쪽에서 다가가는지로 답이 갈리는 문제
앞 문제(0057)는 바깥 함수가 연속이라 부호를 틀려도 답이 살았습니다. 여기서는 바깥에도 불연속인 f가 놓입니다. s→−1+인지 s→−1−인지에 따라 값이 통째로 달라지도록 설계된 문항이고, 그것이 이 문제의 유일한 관문입니다. 앞의 f(x+1)은 치환할 때 부등호 방향이 그대로 따라간다는 것을 확인시키는 준비운동입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 두 항을 따로 떼어라
한 번에 계산하려 하지 마세요. 앞항은 x+1=t, 뒤항은 f(x)=s로 두고 완전히 별개의 문제 두 개로 만드세요.
치환할 때마다 “새 변수는 어디로, 어느 쪽에서 가는가”를 한 줄씩 적는 것이 이 유형의 전부입니다.
치환할 때마다 “새 변수는 어디로, 어느 쪽에서 가는가”를 한 줄씩 적는 것이 이 유형의 전부입니다.
힌트 2 — 앞항: 부호는 그대로 따라간다
x+1=t라 두면 x→0−일 때 t는 1보다 작은 쪽에서 1로 갑니다. 즉 t→1−.
이제 그래프에서 x=1의 왼쪽 값을 읽으세요. 왼쪽 선분이 원점에서 내려와 어느 높이에 닿는지 확인하면 됩니다.
이제 그래프에서 x=1의 왼쪽 값을 읽으세요. 왼쪽 선분이 원점에서 내려와 어느 높이에 닿는지 확인하면 됩니다.
힌트 3 — 뒤항: 여기서 부호가 답을 가른다
f(x)=s라 두면 x→0+일 때 그래프의 높이는 −1에 위쪽에서 붙습니다. 즉 s→−1+이지 s=−1이 아닙니다.
이제 그래프에서 x=−1의 오른쪽 값을 읽으세요. x=−1에는 뚫린 점과 채워진 점이 함께 있으니, 오른쪽 선분이 출발하는 높이만 보면 됩니다.
이제 그래프에서 x=−1의 오른쪽 값을 읽으세요. x=−1에는 뚫린 점과 채워진 점이 함께 있으니, 오른쪽 선분이 출발하는 높이만 보면 됩니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ④ 0 + 1 = 1
치환 없이 — 그래프 위에 화살표 두 개
앞항은 f의 그래프를 왼쪽으로 1칸 민 것이므로, 원래 그래프에서 x=1의 왼쪽만 보면 끝납니다. 뒤항은 x축의 0 오른쪽에서 출발한 화살표를 y축의 −1 위쪽으로 옮겨 그린 뒤, 그 값을 다시 x축의 −1 오른쪽으로 가져가면 됩니다. 화살표를 그래프에 직접 그리면 부호를 흘릴 일이 없습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
s→−1+를 s=−1로 바꿔 버린다
f는 x=−1에서 불연속입니다. 함숫값과 우극한이 다르므로 대입하면 다른 값이 나옵니다. 이 문제가 노린 함정이 정확히 이 지점입니다. -
s→−1+를 s→−1−로 잘못 읽는다
x→0+에서 그래프의 높이가 −1에 아래에서 붙는지 위에서 붙는지 확인하세요. 방향 하나로 답이 바뀝니다. 그래프에 화살표를 실제로 그려 표시하세요. -
x+1=t 치환에서 부등호 방향을 뒤집는다
x→0−이면 t=x+1→1−입니다. 1만큼 더해도 “작은 쪽에서 온다”는 성질은 그대로입니다. +/− 부호를 옮겨 적을 때 습관적으로 바꾸지 마세요. -
안쪽 f와 바깥 f를 같은 x로 읽는다
f(f(x))에서 안쪽은 x축을 보고, 바깥은 그 결과를 다시 x축으로 옮겨 읽습니다. 변수 이름을 s로 새로 붙이는 이유가 이 혼동을 막기 위해서입니다. -
두 값을 구해 놓고 더하지 않는다
0과 1을 각각 구했다면 합은 1입니다. 앞항 0을 “없는 값”으로 취급해 뒤항만 답으로 쓰면 답 번호가 어긋납니다. 0도 엄연히 더할 값입니다.