쎈수학 미적분Ⅰ · 01 함수의 극한
0057
대표 문제
합성함수의 극한
그래프 해석
풀이영상 있음
대표 문제
합성함수의 극한
그래프 해석
풀이영상 있음
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문제를 읽자마자
출제의도
합성함수의 극한은 안쪽부터, 그것도 부호까지 읽으라는 문제
g(f(x))를 전개하려 들면 f의 식이 없어서 막힙니다. 이 유형의 표준 절차는 딱 하나, f(x)=t로 놓고 t가 어디로 가는지 그래프에서 읽는 것입니다. 그래서 실제로 채점을 가르는 지점은 g의 계산이 아니라 “x→0+일 때 t는 0에 왼쪽으로 붙느냐 오른쪽으로 붙느냐”를 쓰느냐입니다. 대표 문제인 이유가 여기 있습니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 방향부터 잡기
g(f(x))=(f(x)−2)²로 전개하고 있다면 멈추세요. f의 식이 없으니 그 길은 끝이 없습니다.
f(x)=t로 치환하면 구하는 것은 lim g(t)로 바뀝니다. 남는 일은 “t가 어디로 가는가” 하나뿐입니다.
f(x)=t로 치환하면 구하는 것은 lim g(t)로 바뀝니다. 남는 일은 “t가 어디로 가는가” 하나뿐입니다.
힌트 2 — 그래프에서 t의 행선지 읽기
x가 0의 오른쪽에서 0으로 갈 때 그래프의 높이는 어디에 붙나요? 원점 오른쪽 선분을 따라 내려오므로 t→0+입니다.
x가 1의 오른쪽에서 1로 갈 때는 오른쪽 아래 선분을 따라오므로 t→−1+입니다. 두 경우 모두 +, − 부호까지 반드시 적으세요.
x가 1의 오른쪽에서 1로 갈 때는 오른쪽 아래 선분을 따라오므로 t→−1+입니다. 두 경우 모두 +, − 부호까지 반드시 적으세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
g(t)=(t−2)²는 모든 점에서 연속인 다항함수입니다. 그러니 t가 어느 쪽에서 붙든 극한은 그냥 대입으로 끝납니다. t→0+면 (0−2)², t→−1+면 (−1−2)².
그리고 문제가 요구한 것은 두 극한의 합입니다. 하나만 구하고 선지를 보지 마세요.
그리고 문제가 요구한 것은 두 극한의 합입니다. 하나만 구하고 선지를 보지 마세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ② 4 + 9 = 13
왜 이 문제는 부호가 덜 위험한가 — 구조를 보는 눈
바깥 함수 g가 연속이면 t의 접근 방향은 결과를 바꾸지 못합니다. 이 문제에서 부호를 틀려도 답이 맞는 경우가 생기는 이유입니다. 그러나 바깥이 불연속인 f로 바뀌는 순간(다음 문항 0058) 부호 하나로 답이 갈립니다. 지금 부호를 적는 습관을 들이라고 배치한 대표 문제입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
함숫값을 그대로 대입한다
g(f(1))처럼 계산하면 안 됩니다. 그래프에서 x=1의 함숫값과 우극한은 다른 값이고, 문제가 물은 것은 우극한 쪽입니다. 뚫린 점과 채워진 점을 눈으로 구분하세요. -
t의 접근 방향을 안 쓰고 넘어간다
“x→1+일 때 t→−1″까지만 쓰면 이번엔 통해도 다음 문제에서 반드시 틀립니다. t→−1+처럼 부호를 붙이는 것이 서술형에서도 배점 요소입니다. -
x→1+에서 t→1로 착각한다
t는 x값이 아니라 그 지점의 y값입니다. x=1 근처 오른쪽에서 그래프의 높이는 −1 부근이라 t→−1+입니다. 화살표를 x축이 아니라 y축에 그리세요. -
(−1−2)²을 −9로 만든다
제곱 앞의 부호 처리에서 가장 많이 깨집니다. −3을 제곱하면 9입니다. 괄호를 살려서 (−3)²로 한 줄 더 적고 계산하세요. -
두 극한 중 하나만 구하고 답을 고른다
4와 9 모두 구해 더해야 13입니다. 4나 9를 그대로 답으로 고르면 선지에 없어 다시 풀게 됩니다. 문제 끝의 “합”에 밑줄을 그어 두세요.