쎈수학 미적분Ⅰ · 01 함수의 극한
0052
난이도 상
그래프와 교점의 개수
우극한
풀이영상 있음
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그래프와 교점의 개수
우극한
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문제를 읽자마자
출제의도
f(t)의 식을 찾지 말고, t 구간별 개수표를 만들라는 문제
f(t)는 계산으로 나오는 함수가 아니라 “수평선 y=t를 위로 밀어 올리며 교점을 세어서” 만드는 함수입니다. 그래서 이 문제의 절반은 y=|x²−1| 그래프를 정확히 그리는 일이고, 나머지 절반은 개수가 바뀌는 경계 t를 놓치지 않는 일입니다. 극한은 그 표가 완성된 뒤에 읽기만 하면 됩니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 그래프부터
y=x²−1을 그린 뒤 x축 아래 부분만 위로 접어 올리세요. 접고 나면 x=±1에서 뾰족점이 생기고, 두 뾰족점 사이에 꼭짓점 (0, 1)인 봉우리가 하나 올라옵니다. 이 봉우리의 높이 1을 기억하세요.
힌트 2 — 경계 찾기
수평선 y=t를 아주 아래에서부터 위로 천천히 올리며 교점 수를 세어 보세요. 개수가 바뀌는 순간은 딱 두 곳, t=0(뾰족점 높이)과 t=1(봉우리 꼭대기)입니다.
t<0, t=0, 0<t<1, t=1, t>1 — 이 다섯 칸을 채우면 f(t)가 완성됩니다.
t<0, t=0, 0<t<1, t=1, t>1 — 이 다섯 칸을 채우면 f(t)가 완성됩니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
α는 t=0의 오른쪽, 즉 0<t<1 칸의 값입니다. β는 t=1의 오른쪽, 즉 t>1 칸의 값입니다.
t=0일 때의 2, t=1일 때의 3은 함숫값이지 극한값이 아닙니다. 우극한을 물었으니 그 점 자체는 쳐다보지 마세요.
t=0일 때의 2, t=1일 때의 3은 함숫값이지 극한값이 아닙니다. 우극한을 물었으니 그 점 자체는 쳐다보지 마세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ④ α/β = 2
더 확실한 길 — y=f(t) 그래프를 직접 그린다
구간별 개수(0, 2, 4, 3, 2)를 t축 위에 계단처럼 찍어 y=f(t) 그래프를 그려 두면, 우극한은 “그 점 바로 오른쪽 계단의 높이”로 눈에 바로 보입니다. t=0과 t=1에 찍힌 점(2와 3)이 계단에서 홀로 떠 있는 모습을 보면, 왜 그 값을 극한에 쓰면 안 되는지도 함께 이해됩니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
t=0, t=1에서의 함숫값을 극한값으로 쓴다
f(0)=2, f(1)=3이지만 문제가 물은 것은 우극한입니다. α=2, β=3으로 잡으면 답이 2/3이 되어 선지에 없습니다. 답이 선지에 없다면 십중팔구 이 실수입니다. -
절댓값을 씌우지 않은 포물선으로 센다
y=x²−1로 그리면 0<t<1에서 교점이 2개로 보입니다. |·|는 x축 아래를 접어 올리라는 뜻이고, 접힌 봉우리 때문에 교점이 4개가 됩니다. -
0<t<1 구간을 4개가 아닌 2개로 센다
이 구간에서는 봉우리와 2번, 바깥쪽 두 가지와 2번, 총 4번 만납니다. 수평선을 실제로 하나 그어 놓고 손가락으로 짚어 세세요. -
α와 β의 자리를 바꿔 계산한다
α는 t→0+, β는 t→1+입니다. 뒤집으면 1/2(②)이 나오는데, 이 오답이 선지에 버젓이 있습니다. 구한 값 옆에 α, β를 반드시 적어 두세요. -
경계 t를 하나만 잡고 넘어간다
개수가 바뀌는 지점은 뾰족점 높이 t=0과 꼭짓점 높이 t=1로 두 개입니다. 그래프에 수평선이 걸리는 특별한 높이를 전부 표시한 뒤 구간을 나누는 습관을 들이세요.