쎈미적분1 0051 - 답지나라

쎈수학 미적분Ⅰ · 01 함수의 극한

0051
난이도 중
서술형
절댓값 기호와 극한
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문제를 읽자마자

출제의도

절댓값을 접근 방향에 따라 다르게 벗기라는 문제

분모의 절댓값과 분자의 인수분해가 같은 인수를 공유하도록 설계되어 있습니다. 방향만 맞게 벗기면 약분 한 번으로 끝납니다. 서술형이므로 답만 맞히는 것으로는 부족하고, a와 b를 구하는 근거가 각각 한 줄씩 답안에 남아 있어야 합니다.

막혔을 때

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 순서를 바꾸세요

분자부터 인수분해하지 말고, 분모의 절댓값을 먼저 벗기세요.
절댓값은 안의 식이 양수인지 음수인지가 정해져야만 벗겨집니다. 그 부호를 알려 주는 것이 바로 x 밑에 붙은 −, + 기호입니다.

힌트 2 — 첫 번째 극한

x→−1+는 x>−1, 즉 x+1>0입니다. 그러므로 |x+1|=x+1 그대로입니다.
분자 x²−3x−4는 (x+1)(x−4)로 쪼개집니다. 무엇이 약분되나요?

힌트 3 — 두 번째 극한의 함정

x→3−는 x<3, 즉 x−3<0입니다. 음수의 절댓값은 부호를 뒤집어야 하므로 |x−3|=−(x−3)입니다.
여기서 마이너스를 빼먹으면 b의 부호가 통째로 뒤집힙니다. 분자는 (x+2)(x−3). 약분 후 남는 식 앞의 마이너스를 반드시 챙기세요.

다 풀고 나서

정답·해설 펼치기

정답 25 (a = −5, b = −5)

쎈 미적분1 0051번 해설

채점기준 — 답안에 이 세 줄이 남아야 합니다

배점의 80%가 a와 b를 따로 구하는 과정에 걸려 있습니다. 25만 적힌 답안은 만점을 받지 못합니다. ∴ a=−5, ∴ b=−5를 각각 독립된 줄로 남기세요.

덮기 직전에

|x−3|을 그냥 x−3으로 벗긴다
이 문제에서 가장 많이 나오는 오답 경로입니다. x→3−이므로 x−3은 음수, 반드시 −(x−3)입니다. 이 한 번의 부호로 b가 −5 대신 5가 되고 답은 −25가 됩니다.
두 극한의 방향이 다르다는 것을 놓친다
앞은 +, 뒤는 −로 일부러 엇갈리게 냈습니다. 첫 번째에서 절댓값이 그대로 벗겨졌다고 두 번째도 같을 것이라 넘겨짚으면 걸립니다. 극한마다 부호를 새로 판정하세요.
인수분해 부호를 뒤집는다
x²−3x−4=(x+1)(x−4), x²−x−6=(x+2)(x−3)입니다. 상수항이 음수이므로 두 인수의 부호가 서로 달라야 합니다. 전개해서 한 번 검산하는 데 5초면 충분합니다.
약분한 뒤 대입을 잊는다
x−4, −(x+2)까지 정리하고 멈추면 아직 극한값이 아닙니다. 남은 식에 −1과 3을 넣어 −5, −5를 확정하세요.
ab 대신 a+b를 구한다
a와 b가 둘 다 −5로 같게 나오는 문제라 마지막에 방심합니다. 곱이면 25, 합이면 −10입니다. 문제 문장을 다시 읽고 답을 적으세요.
과정 없이 25만 쓴다
서술형은 결론이 아니라 근거에 점수가 붙습니다. 절댓값을 벗긴 근거(x>−1이므로 / x<3이므로)를 각각 한 줄씩 명시해야 40%+40%를 확보합니다.

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