쎈수학 미적분Ⅰ · 01 함수의 극한
0048
난이도 중
극한값이 존재하지 않을 조건
풀이영상 있음
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극한값이 존재하지 않을 조건
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문제를 읽자마자
출제의도
절댓값 조건을 부등식으로 풀어 경계를 찾고, 그 경계에서만 좌·우극한을 비교하라는 문제
극한값이 없을 수 있는 곳은 식이 바뀌는 경계뿐입니다. |x|≥1과 |x|<1이 갈리는 경계는 x=−1과 x=1로 두 곳이고, 그중 한 곳만 좌·우극한이 어긋납니다. 앞 문제(0047)가 “존재하도록”이었다면 이 문제는 그 반대를 묻는, 짝을 이루는 문항입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 절댓값부터 벗기기
|x|≥1은 x≤−1 또는 x≥1, |x|<1은 −1<x<1입니다.
즉 바깥쪽에서는 2−x, 안쪽에서는 4−x2을 씁니다. 그러면 검사해야 할 경계는 모두 몇 개인가요?
즉 바깥쪽에서는 2−x, 안쪽에서는 4−x2을 씁니다. 그러면 검사해야 할 경계는 모두 몇 개인가요?
힌트 2 — x=1을 먼저
x=1의 오른쪽은 바깥이므로 2−x를 써서 우극한은 1.
x=1의 왼쪽은 안쪽이므로 4−x2을 써서 좌극한은 3.
두 값이 다릅니다. 그런데 여기서 멈추면 안 됩니다. 경계가 하나 더 있습니다.
x=1의 왼쪽은 안쪽이므로 4−x2을 써서 좌극한은 3.
두 값이 다릅니다. 그런데 여기서 멈추면 안 됩니다. 경계가 하나 더 있습니다.
힌트 3 — x=−1도 반드시 확인
x=−1의 왼쪽은 바깥이라 2−(−1)=3, 오른쪽은 안쪽이라 4−(−1)2=3. 두 값이 같으므로 x=−1에서는 극한값이 존재합니다.
따라서 극한값이 존재하지 않는 지점은 하나로 좁혀집니다. a의 값을 적으세요.
따라서 극한값이 존재하지 않는 지점은 하나로 좁혀집니다. a의 값을 적으세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 a = 1
더 빠른 길 — 그래프를 먼저 그린다
−1<x<1에서는 위로 볼록한 포물선 4−x2이 (−1,3)과 (1,3)을 잇고, 바깥에서는 직선 2−x가 지나갑니다. 직선은 x=−1에서 높이 3, x=1에서 높이 1입니다.
x=−1에서는 포물선과 직선의 높이가 3으로 맞아 그래프가 이어지고, x=1에서는 3과 1로 어긋나 뚝 끊깁니다. 그래프가 끊긴 곳이 곧 극한값이 없는 곳이므로 그림 한 장이면 계산 없이 a=1이 보입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
x=1만 확인하고 끝낸다
절댓값이 만드는 경계는 x=1과 x=−1로 두 개입니다. x=−1에서는 양쪽이 3으로 맞아 극한이 존재한다는 것까지 확인해야, “a=1뿐”이라는 결론에 근거가 생깁니다. -
|x|≥1이 어느 쪽인지 뒤집어 쓴다
|x|≥1은 원점에서 먼 바깥쪽(x≤−1 또는 x≥1)입니다. x=1의 오른쪽에 4−x2을 쓰면 답이 통째로 달라집니다. 수직선에 −1과 1을 찍고 어느 구간에 어느 식인지 표시한 뒤 시작하세요. -
4−x2에 x=1을 넣고 4로 읽는다
4−12=3입니다. 상수항만 보고 넘어가는 순간 x=1에서도 극한이 존재하는 것처럼 보여 “그런 a는 없다”는 오답으로 갑니다. -
답을 a=±1로 쓴다
경계가 두 개라고 해서 답이 두 개인 것은 아닙니다. x=−1에서는 좌·우극한이 3으로 같아 극한이 존재하므로 제외됩니다. -
“극한값이 존재하지 않는다”를 “함숫값이 없다”로 읽는다
x=1에서 f(1)=2−1=1로 함숫값은 멀쩡히 존재합니다. 문제가 묻는 것은 좌·우극한의 일치 여부이지 정의 여부가 아닙니다.