01 평면좌표
1. 두 점 사이의 거리
본문 10쪽
0001
AB = |6-1| = 5
5 5
0002
AB = |5-(-3)| = 8
답 8
0003
OA = |-4| = 4
답 4
0004
AB = √(3-2)2+{(-1)2} = √10
답 √10
0005
AB = √{1-(-4)}2+{-1-(-2)}2 = √26
답 √26
0006
OA = √32+(-4)2 = 5
답 5
0007
1·(-2)+2·61+2 = 103
답 103
0008
4·(-2)+3·64+3 = 107
답 107
0009
6-22 = 2
답 2
0010
2·3+1·52+1 = 113, 2·(-6)+1·22+1 = -103
∴ (113, -103)
∴ (113, -103)
답 (113, -103)
0011
3·3-5·53-5 = 17, 3·(-6)-5·23-5 = -1
∴ (17, -1)
∴ (17, -1)
답 (17, -1)
0012
5+32 = 4, 2-62 = -2
∴ (4, -2)
∴ (4, -2)
답 (4, -2)
0013
답 (가) x₂+x₃2 (나) y₂+y₃2 (다) x₁+x₂+x₃3 (라) y₁+y₂+y₃3
0014
2-1+33 = 43, 1+0-43 = -1
∴ (43, -1)
∴ (43, -1)
답 (43, -1)
0015
-2+4+13 = 1, 3-5+83 = 2
∴ (1, 2)
∴ (1, 2)
답 (1, 2)
최고 유형
좌표평면 위의 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) 사이의 거리는
AB = √(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²
0016
AB = 5√2 이므로
√(a+1-3)²+(-2-3)² = 5√2
√(a+1-3)²+(-2-3)² = 5√2
위의 식의 양변을 제곱하면
(a-2)²+25 = 50, a²-4a-21=0
(a+3)(a-7)=0
∴ a=-3 또는 a=7
따라서 모든 a의 값의 합은
-3+7=4
(a-2)²+25 = 50, a²-4a-21=0
(a+3)(a-7)=0
∴ a=-3 또는 a=7
따라서 모든 a의 값의 합은
-3+7=4
2
0017
AB = 2CD 에서 AB² = 4CD² 이므로
(a-1)²+(-1+a)² = 4{2²+(-2)²}
(a-1)²+(-1+a)² = 4{2²+(-2)²}
2a²-4a+2=32, a²-2a-15=0
(a+3)(a-5)=0
∴ a=5 (∵ a>0)
(a+3)(a-5)=0
∴ a=5 (∵ a>0)
답 5
0018
OB² = (√a)²+(-1)² = a+1
정사각형 OABC의 한 변의 길이를 a라 하면 a² = (OB²/2). a²=13
따라서 구하는 넓이는 a²=13
정사각형 OABC의 한 변의 길이를 a라 하면 a² = (OB²/2). a²=13
따라서 구하는 넓이는 a²=13
풀이) 정사각형의 두 대각선은 서로를 수직이등분하고 그 길이가 같으므로
AC = OB = √5²+(-1)² = √26
∴ □OABC = 12√26·√26 = 13
AC = OB = √5²+(-1)² = √26
∴ □OABC = 12√26·√26 = 13
답 13
0019
0 ≤ AB ≤ 4 에서 AB² ≤ 4²이므로
(t-3)²+(7-t)² ≤ 16, t²-10t+21 ≤ 0
(t-3)(t-7) ≤ 0, ∴ 3 ≤ t ≤ 7
따라서 정수 t는 3, 4, 5, 6, 7의 5개이다.
(t-3)²+(7-t)² ≤ 16, t²-10t+21 ≤ 0
(t-3)(t-7) ≤ 0, ∴ 3 ≤ t ≤ 7
따라서 정수 t는 3, 4, 5, 6, 7의 5개이다.
답 5
0020
두 점 A, B가 동시에 출발한 지 t초 후의 두 점 A, B의 좌표는 각각 (0, 10-t), (3t, 0)이므로
AB = √(3t)² + {0-(10-t)}² = √25t²-60t+100 = √25(t-65)²+64
AB = √(3t)² + {0-(10-t)}² = √25t²-60t+100 = √25(t-65)²+64
따라서 두 점 A, B 사이의 거리는 t=65일 때 최솟값 √64 = 8을 갖는다.
답 8
| 자료의 신뢰도 | 비율 |
|---|---|
| 두 점 A, B의 좌표를 구할 수 있다. | 비율 |
| 두 점 A, B 사이의 거리를 식에 대입하여 나타낼 수 있다. | 50% |
| 두 점 A, B 사이의 거리의 최솟값을 구할 수 있다. | 20% |
2 정답 및 풀이
빠른 정답
본문 8~9쪽
유형 02. 같은 거리에 있는 점
두 점 A, B에서 같은 거리에 있는 점 P의 좌표는 AP = BP, 즉 AP2 = BP2 임을 이용하여 구한다. 이때 점 P의 위치에 따라 좌표를 다음과 같이 놓는다.
① x축 위의 점 ⇨ (a, 0)
② y축 위의 점 ⇨ (0, b)
③ 직선 y=mx+n 위의 점 ⇨ (a, am+n)
① x축 위의 점 ⇨ (a, 0)
② y축 위의 점 ⇨ (0, b)
③ 직선 y=mx+n 위의 점 ⇨ (a, am+n)
0021
1
점 P(a, b)가 직선 y=x+1 위의 점이므로 b=a+1 …㉠
또 AP2 = BP2에서 AP2 = CP2이므로
(a-1)2+(b+2)2 = (a-5)2+(b-2)2
a2-2a+1+b2+4b+4 = a2-10a+25+b2-4b+4
∴ a+b=3 …㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=2
∴ a2+b2=5
또 AP2 = BP2에서 AP2 = CP2이므로
(a-1)2+(b+2)2 = (a-5)2+(b-2)2
a2-2a+1+b2+4b+4 = a2-10a+25+b2-4b+4
∴ a+b=3 …㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=2
∴ a2+b2=5
0022
3
P(a, 0)이라 하면 AP2 = BP2이므로
(a-2)2+(-1)2 = (a-1)2+(-2)2
a2-4a+4+1 = a2-2a+1+4
-2a=0 ∴ a=0
따라서 점 P의 좌표는 0이다.
(a-2)2+(-1)2 = (a-1)2+(-2)2
a2-4a+4+1 = a2-2a+1+4
-2a=0 ∴ a=0
따라서 점 P의 좌표는 0이다.
0023
2
AP2 = BP2에서 AP2 = BP2이므로
(a-4)2+(b-5)2 = (a+3)2+(b-2)2
a2-8a+16+b2-10b+25 = a2+6a+9+b2-4b+4
14a+6b=28 ∴ 7a+3b=14 …㉠
한편 CP2=100에서 OP2 = 100이므로
a2+b2=100 …㉡
위의 식에 b=7을 대입하면
a2+49=100 ∴ a2=51
(a-4)2+(b-5)2 = (a+3)2+(b-2)2
a2-8a+16+b2-10b+25 = a2+6a+9+b2-4b+4
14a+6b=28 ∴ 7a+3b=14 …㉠
한편 CP2=100에서 OP2 = 100이므로
a2+b2=100 …㉡
위의 식에 b=7을 대입하면
a2+49=100 ∴ a2=51
0024
3
△ABC의 외심을 P(a, b)라 하면 AP=BP=CP이므로 AP2=BP2=CP2
AP2 = BP2에서
(a-2)2+(b-1)2 = (a-4)2+(b+3)2
a2-4a+4+b2-2b+1 = a2-8a+16+b2+6b+9
∴ a-2b=5 …㉠
BP2 = CP2에서
(a-4)2+(b+3)2 = (a+2)2+(b+2)2
a2-8a+16+b2+6b+9 = a2+4a+4+b2+4b+4
∴ -6a+b=-9 …㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-2
따라서 P(-1, 0)이므로 외접원의 반지름의 길이는
CP = √{(-1)2+02} = √10 이므로 AP=BP=CP
AP2 = BP2에서
(a-2)2+(b-1)2 = (a-4)2+(b+3)2
a2-4a+4+b2-2b+1 = a2-8a+16+b2+6b+9
∴ a-2b=5 …㉠
BP2 = CP2에서
(a-4)2+(b+3)2 = (a+2)2+(b+2)2
a2-8a+16+b2+6b+9 = a2+4a+4+b2+4b+4
∴ -6a+b=-9 …㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-2
따라서 P(-1, 0)이므로 외접원의 반지름의 길이는
CP = √{(-1)2+02} = √10 이므로 AP=BP=CP
SSEN 특강. 삼각형의 외심
① 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점이다.
② 삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다.
② 삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다.
0025
답 √5 km
오른쪽 그림과 같이 A 지점이 원점, B 지점이 x축 위에 오도록 좌표평면을 잡으면
A(0, 0), B(4, 0), C(1, 1)
분수대를 만드는 지점을 P(a, b)라 하면 AP=BP=CP이므로 AP2=BP2=CP2
AP2 = BP2에서 a2+b2=(a-4)2+b2
a2=a2-8a+16+b2
8a=16 ∴ a=2
AP2 = CP2에서 22+b2=(2-1)2+(b-1)2
4+b2=1+b2-2b+1
2b=-2 ∴ b=-1
따라서 P(2, -1)이므로 분수대와 각 지점 사이의 거리는
AP=√{22+(-1)2}=√5 (km)
A(0, 0), B(4, 0), C(1, 1)
O
A
B
(1, -2)
AP2 = BP2에서 a2+b2=(a-4)2+b2
a2=a2-8a+16+b2
8a=16 ∴ a=2
AP2 = CP2에서 22+b2=(2-1)2+(b-1)2
4+b2=1+b2-2b+1
2b=-2 ∴ b=-1
따라서 P(2, -1)이므로 분수대와 각 지점 사이의 거리는
AP=√{22+(-1)2}=√5 (km)
유형 03. 두 점 사이의 거리의 활용: 식의 값
(a, b), x, y가 실수일 때, √(x-a)2+(y-b)2은 두 점 (a, b), (x, y) 사이의 거리임을 이용하여 주어진 식의 최솟값을 구한다.
0026
2
O(0, 0), P(a, b), Q(1, 3)이라 하면
√{a2+b2}=OP, √{(a-1)2+(b-3)2}=PQ
∴ √{a2+b2}+√{(a-1)2+(b-3)2}=OP+PQ
≥OQ=√{12+32}=√10
따라서 구하는 최솟값은 √10이다.
√{a2+b2}=OP, √{(a-1)2+(b-3)2}=PQ
∴ √{a2+b2}+√{(a-1)2+(b-3)2}=OP+PQ
≥OQ=√{12+32}=√10
따라서 구하는 최솟값은 √10이다.
0027
3
P(2, -1), Q(x, y), R(5, k)라 하면
√{(x-2)2+(y+1)2}=PQ, √{(x-5)2+(y-k)2}=QR
∴ √{(x-2)2+(y+1)2}+√{(x-5)2+(y-k)2}
=PQ+QR ≥PR=√{(5-2)2+(k+1)2}=√{k2+2k+10}
따라서 √{k2+2k+10}=5이므로 양변을 제곱하면
k2+2k+10=25, k2+2k-15=0
(k+5)(k-3)=0
∴ k=3 (∵ k>0)
√{(x-2)2+(y+1)2}=PQ, √{(x-5)2+(y-k)2}=QR
∴ √{(x-2)2+(y+1)2}+√{(x-5)2+(y-k)2}
=PQ+QR ≥PR=√{(5-2)2+(k+1)2}=√{k2+2k+10}
따라서 √{k2+2k+10}=5이므로 양변을 제곱하면
k2+2k+10=25, k2+2k-15=0
(k+5)(k-3)=0
∴ k=3 (∵ k>0)
| 채점 기준 | 비율 |
|---|---|
| ❶ 주어진 식을 두 점 사이의 거리의 합으로 표현할 수 있다. | 40% |
| ❷ 두 점 사이의 거리에 대한 식으로 나타낼 수 있다. | 40% |
| ❸ k의 값을 구할 수 있다. | 20% |
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